(1)편 빛보다 빠른 것들 (1) - 정말 짧아져 보일까?
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서기 3000년, 지구에서 20광년(빛의 속도로 갈 때 20년 걸리는 거리) 떨어진 프로토스 행성에 EMP를 쏘기 위해 사이언스 베슬이 지구로부터 출발했습니다. 베슬은 빛의 속도의 80%(0.8c 라고 씁니다. c는 빛의 속도를 나타내는 문자입니다.)로 날아가고 있으며 쌍둥이 형이 조종하고 있습니다. 지구의 커맨드 센터에는 쌍둥이 동생이 남아서 베슬의 임무를 돕고 있습니다.

베슬의 속도가 0.8c 이므로 20광년 떨어진 프로토스 행성까지 가는데 걸리는 시간은 25년(20÷0.8=25)입니다. EMP를 쏘는 임무에 하루가 소요되었다고 합시다. 임무를 마친 베슬은 다시 지구로 귀환합니다. 역시 25년이 걸립니다. 그러므로 커맨드 센터에서 본 베슬은 50년(정확히는 50년 더하기 하루) 후에 지구로 귀환하게 됩니다.
이것을 정리하면 다음과 같습니다. 지구에 남아있는 쌍둥이 동생의 시계입니다.
3000년 지구에서 베슬 출발
3025년 베슬이 프로토스 행성에 도착하여 EMP 발사 후 지구로 귀환 시작
3050년 베슬이 지구에 도착
그러므로 지구의 커맨드 센터에 남아있는 쌍둥이 동생의 시계로는, 베슬이 귀환했을 때 50년의 시간이 흐른 후입니다.

그런데 상대성 이론에 의하면 정지한 물체에 대해 움직이는 물체의 시간은 느리게 흐릅니다. 물리학자에게 물어보니 빛의 속도의 80%로 움직이는 물체는 정지했을 때와 비교해서 시간이 60%로 느리게 흐른다고 합니다. 즉 정지했을 때 10년이 지날 때 0.8c로 움직이는 물체의 시간은 6년만 지난 것으로 나타납니다.
따라서 커맨드센터의 동생이 베슬에 타고 있는 형을 관찰하면, 지구로 귀환한 쌍둥이 형의 시계는 50년의 60%, 즉 30년이 지난 것으로 관측합니다.
이것을 정리하면 다음과 같습니다. 베슬에 탑승한 쌍둥이 형의 시계입니다.
3000년 지구에서 베슬 출발
3015년 베슬이 프로토스 행성에 도착하여 EMP 발사 후 지구로 귀환 시작
3030년 베슬이 지구에 도착

그러므로 쌍둥이 형이 임무를 마치고 지구로 귀환했을 때, 동생은 50살의 나이를 더 먹었지만 형은 30살의 나이만 먹게 되어 형의 나이가 더 젊게 되는 것이지요.

오케이, 아인슈타인이 빠르게 움직이는 물체의 시간은 느리게 흐른다고 했으니 당연하잖아.


그런데 베슬에 타고 있는 형의 입장에서 보자면 자기는 정지해 있고 동생이 자기에게서 멀어지는 것처럼 보입니다. 상대성 이론에선 자기가 정지해있는지 상대방이 움직이는 것인지 서로 구별할 수가 없으므로 방금 내린 결론에서 형과 동생을 그대로 뒤바꾼 것이 됩니다. 즉 베슬에 탄 형의 입장에서는 형이 50년의 나이를 먹고, 지구의 동생이 움직이고 있으므로 30년의 나이를 먹게 되는 것이지요.
그럼 둘이 서로 만나면 누가 더 젊을까요? 동생의 입장에서는 형이 더 젊고, 형의 입장에서는 동생이 더 젊다? 어라???


이것이 그 유명한 쌍둥이 패러독스입니다.

물론 이 패러독스를 해결하는 방법 역시 잘 알려져 있습니다.
상대성 이론에서 자기가 정지해 있는지 움직이는지 구별할 수 없다고 한 것은 등속운동, 즉 속력이나 움직이는 방향이 변하지 않을 때만 구별할 수 없습니다.
따라서 지구의 동생은 자기 입장에서 그대로 정지해 있지만, 베슬의 형은 임무를 마치고 귀환할 때 움직이는 방향이 바뀌게 됩니다. 그러므로 형은 방향을 바꿀 때 자기가 움직인다는 것을 알게 되고 동생의 입장과는 달라지는 것이지요.


오케이, 좋아. 동생의 관점과 형의 관점이 서로 다르다는 건 알겠어. 그럼 형의 입장에서 동생은 언제 나이를 먹는 것이지? 동생과 형의 차이점은 프로토스 행성에 도착해서 방향을 바꿀 때뿐이니까 베슬이 방향을 바꾸는 그 하루 동안 동생이 갑자기 어마어마하게 나이를 먹는 건가? 단지 방향을 바꾸는 것이 어떻게 그런 것을 가능하게 하지?


방향을 바꾼다는 것은 속도가 변한다는 것이고 속도가 변하는 것은 일반 상대성 이론에 의하면 중력이 있는 것과 동일한 효과입니다.(등가원리) 그리고 중력 센 곳에서는 시간이 느리게 갑니다. 사이언스 베슬은 하루 동안 지구에서 멀어지는 방향으로 o.8c에서 다가오는 방향으로 0.8c의 속도 변화가 있었으므로 매우 큰 가속도 즉 매우 큰 중력을 경험하게 되고 이것은 형의 시계를 느리게 만듭니다. 따라서 형의 입장에서는 상대적으로 동생의 시간이 매우 빠르게 흐르는 것처럼 관찰됩니다.

형의 관점을 다시 정리하자면
3000년 지구에서 베슬 출발 ~ 3015년 베슬이 프로토스 행성에 도착 : 베슬의 형이 지구에 남아 있는 동생을 관찰하면 자기보다 동생이 60% 더 느리게 시간이 흐르는 것을 관찰함
형의 관점에서 15년 동안 60% 시간이 느리게 흘렀으므로, 형의 시계로 동생은 9년의 나이를 먹음

3015년 임무를 마치고 지구로 귀환 시작 : 방향을 바꾸는 하루 동안 형의 시계로 동생이 급격히 나이를 먹음(정확히 32년)

3015년 베슬이 프로토스 행성에 도착 ~ 3030년 베슬이 지구에 도착 : 베슬의 형이 지구에 남아 있는 동생을 관찰하면 자기보다 동생이 60% 더 느리게 시간이 흐르는 것을 관찰함
형의 관점에서 15년 동안 60% 시간이 느리게 흘렀으므로, 형의 시계로 동생은 9년의 나이를 먹음

그러므로 형의 관점에서 자기가 30년의 시간이 흐를 동안, 동생은 50년(9+32+9)의 나이를 먹은 것으로 관찰함. 쌍둥이 패러독스 해결


대부분의 사람들이 이렇게 알고 있습니다. 하지만 여전히 의문이 남아있습니다.
1. 그럼 저 32년을 계산하기 위해서는 일반상대성 이론을 알아야 하나?
2. 일반 상대성 이론에 의하면 자유 낙하할 때는 자기가 떨어지는 것을 알지 못한다고 하던데(등가원리), 그럼 방향을 바꿀 때 프로토스 행성의 중력을 이용해서 반 바퀴 도는 경우는 어떻게 되는 거지? 이 경우는 가속을 전혀 느낄 수 없는데(중력에 의해 회전하는 것 역시 자유낙하입니다.) 형의 입장에서 시간이 동생의 시간이 빨리 흐를 아무런 이유가 없지 않을까?

정답을 먼저 얘기하자면 위의 설명은 물리학자가 계산한 형의 동시간대(line of simultaneity)를 동생에게 적용할 경우에 맞는 이야기입니다.
무슨 말인지 전혀 알 수가 없죠? 일반인 입장에선 당연합니다!!! 위에서 말한 시간은 물리학자의 계산으로만 존재하는 시간이지 실제 눈으로 관찰된 시계가 아닙니다. 또한 쌍둥이 패러독스는 일반 상대성 이론은 쓸 필요 없이 특수 상대성 이론만으로 완벽히 해결됩니다.


자, 그럼 실제로 어떻게 보이는지 알아봅시다. 물리학자의 관점은 우리가 알 바 아니고, 일반인들에게는 눈으로 보는 것이 바로 믿는 것이지요.

실제로 서로를 보기 위해 초고성능 망원경을 형과 동생 각자 준비하면 될 것입니다. 좀 더 현실적으로는 CCTV 화면을 실시간으로 전송해서 동생은 지구에서 베슬에 탄 형이 전송해준 CCTV 영상을 모니터링하고, 반대로 형은 동생이 지구에서 실시간 전송해준 CCTV 영상을 관찰하면 됩니다.
과연 둘은 서로의 시간이 어떻게 흐르는 걸로 볼까요?

서로가 어떻게 보이는가를 알기 위해 먼저 도플러 효과 라는 것을 알아야합니다.
도플러 효과는 구급차가 지나갈 때 많이 경험했을 것입니다. 구급차가 다가올 때는 사이렌 소리가 고음이고, 구급차가 지나간 후에는 갑자기 사이렌 음이 낮아지는 현상이지요.(소리의 크기가 아니라 음의 높낮이가 변합니다.)
사실 이 설명은 정확한 것은 아닌데 예를 들어 사이렌 소리가 아닌 확성기를 대고 “구급차가 나갑니다. 비켜주세요!!” 라고 말하는 경우는 어떻게 될까요? 구급차가 다가올 때는 단순히 헬륨가스를 마신 것처럼 음만 높아지고, 지나간 이후에는 남자 베이스처럼 음만 낮아지는 걸까요?
정답은 NO입니다. 구급차가 다가올 때는 음이 높아지는 것뿐만 아니라 말 자체도 빨라집니다. 마치 테이프를 빨리 재생시킨 것처럼 말이죠. 반대로 구급차가 멀어질 때는 테이프를 느리게 재생시킨 것처럼 말이 느려지면서 음도 역시 낮아집니다.

따라서 도플러 효과란 멀어질 때는 테이프나 소리를 느리게 재생시킨 효과를 내고, 다가올 때는 테이프나 소리를 빠르게 재생시킨 효과를 냅니다.
빛도 마찬가지입니다. 멀어질 때는 화면을 느리게 재생시킨 효과를 내고 이것은 시간이 느리게 흐르는 것처럼 관찰됩니다. 반대로 다가올 때는 화면을 빠르게 재생시킨 효과를 내고 이것은 시간이 빠르게 흐르는 것처럼 관찰됩니다.

자, 그럼 빛의 속도의 80%로 움직일 때(속도가 0.8c)일 때 도플러 효과는 얼마나 될까요? 물리학자에게 물어보니 팩터(factor)가 3 이라고 합니다. (계산식은 (c+0.8c/c-0.8c)^0.5)
즉, 동생이건 형이건 멀어질 때는 1/3배 만큼 느리게 시간이 흐르는 것처럼 관찰되고, 다가올 때는 3배 빠르게 시간이 흐르는 것처럼 관찰됩니다.

그러면 둘의 차이는 어디서 발생하는 것일까요?
그것은 바로 귀환하는 시점을 언제 인지하는가 하는 것입니다.
형은 자기가 베슬을 조종하므로 방향을 지구 쪽으로 향하는 즉시 지구로 다가가고 있다는 사실을 알 수 있습니다.

하지만 동생은 형이 지구 쪽으로 방향을 틀더라도 그 즉시 알 수 없습니다. 왜냐하면 지구에서 프로토스 행성까지의 거리는 20광년, 즉 베슬이 귀환할 때 베슬은 지구로부터 빛의 속도로 20년 걸리는 거리에 있기 때문입니다. 그러므로 지구의 동생은 베슬이 귀환한다는 사실을 실제 베슬이 방향을 바꾼 후 20년 뒤에야 그 사실을 알 수 있고, 이 귀환 사실을 확인한 시각은 베슬이 출발한 때로부터 45년 후입니다.(베슬이 프로토스 행성에 도착할 때까지 25년+빛이 그 사실을 전달하는데 걸리는 시간 20년)

그럼 이제 지구의 동생과 베슬의 형이 실제로 CCTV에서 본 것을 정리해봅시다.

먼저 동생이 관찰하는, 형이 베슬에서 실시간 전송해준 CCTV화면입니다.
3000년 지구에서 베슬 출발 ~ 3045년 베슬이 프로토스 행성에 도착한 것을 확인 :
지구의 동생이 베슬에 타고 있는 형의 CCTV를 모니터링하면, CCTV 영상이 1/3배만큼 느리게 재생되는 것을 관찰함. 동생이 보기에 형의 시간이 1/3만큼 느리게 45년이 흘렀으므로, 지구의 동생은 45년 동안 형이 15년 나이를 먹은 것으로 관찰함

3045년 베슬이 지구로 귀환 시작 ~ 3050년 베슬이 지구에 도착 :
형이 귀환하는 동안 지구의 동생이 베슬에 타고 있는 형을 관찰하면, CCTV 영상이 3배 빠르게 재생되는 것을 관찰함. 동생이 보기에 형의 시간이 3배 빠르게 5년이 흘렀으므로, 지구의 동생은 5년 동안 형이 15년 나이를 먹은 것으로 관찰함

그러므로 지구에 남아 있는 동생은 50살(45+5)의 나이를 먹을 동안, 동생은 형이 30살(15+15)의 나이를 먹게 되는 것을 CCTV를 통해 보게 됩니다.

이번에는 형이 관찰하는, 동생이 커맨드센터에서 실시간 전송해준 CCTV화면입니다.
3000년 지구에서 베슬 출발 ~ 3015년 베슬이 프로토스 행성에 도착 :
베슬의 형이 지구에 남아 있는 동생의 CCTV를 모니터링하면, CCTV 영상이 1/3배만큼 느리게 재생되는 것을 관찰함. 형이 보기에 동생의 시간이 1/3만큼 느리게 15년이 흘렀으므로, 베슬의 형은 15년 동안 지구의 동생이 5년 나이를 먹은 것으로 관찰함.

3015년 EMP 발사 후 지구로 귀환 시작 ~ 3030년 베슬이 지구에 도착 :
귀환하는 동안 베슬의 형이 지구에 남아 있는 동생을 관찰하면 자기보다 동생이 3배 빠르게 행동하는 것을 관찰함. 형이 보기에 동생의 시간이 3배 빠르게 15년이 흘렀으므로, 베슬의 형은 15년 동안 동생이 45년 나이를 먹은 것으로 관찰함

그러므로 베슬을 타고 임무를 수행한 형은 30살(15+15)의 나이를 먹을 동안, 형은 동생이 50살(5+45)의 나이를 먹게 되는 것을 보게 됩니다.

동생과 형 둘 다 서로 멀어질 때는 상대방의 시간이 더 느리게 흐르는 것을 관찰하고, 서로 다가올 때는 둘 다 상대방의 시간이 더 빨리 흐르는 것을 관찰하게 됩니다. 즉 둘 다 똑같은 현상을 관찰하므로 상대성 이론의 가정과 일치합니다.(움직이는 것과 정지한 것을 구분할 수 없다.)

하지만 동생과 형의 결정적인 차이점은 방향을 바꾸어 돌아온다는 사실을 언제 인지하느냐 하는 것이지, 가속을 경험하느냐가 아닙니다.(물론 대부분의 경우 가속을 경험하면 방향이 바뀌었다는 것을 알게 됩니다만) 형은 귀환하는 순간 바로 알지만, 빛의 속도는 유한하므로 동생은 그 사실을 한참 뒤에야 알게 됩니다.

이로서 쌍둥이 패러독스에서 상대성을 유지하면서 패러독스를 해결했습니다.
상대성 이론에 의하면 분명 움직이는 물체의 시간은 느리게 흐릅니다만 그렇게 “보이지”는 않습니다. 멀어지는 물체의 시계는 느리게 움직이는 것처럼 “보이지”만, 다가오는 물체의 시간은 오히려 빠르게 흐르는 것처럼 “보입니다.”
빠르게 움직이는 물체의 길이가 실제로 짧아 “보이지”는 않는 것과 마찬가지로 시계 역시 “보이는” 것은 실제와 다른 법이죠.

ps1. 전 원래 이런 재미없는 글만 쓰는 사람입니다.
ps2. 시작했던 글은 꼭 마무리 짓겠습니다.