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Date 2019/09/17 09:58:55
Name 포프의대모험
File #1 1568683673633.jpg (36.2 KB), Download : 20
Subject [질문] (수학)잘린 구의 높이 구하는 방법 (수정됨)


안녕하세요
금속 공이 녹아서 바닥에 붙었을때 높이를 예측할려고 하는데요
붙는 바닥면(원)의 넓이와 녹기 전의 부피(완전한 구일때 지름)만 알고 있습니다

구가 잘린 형상으로 바닥에 붙는다고 할때
(접착되는 바닥원의 지름은 구의 지름보다 작거나 같음)
잘린 구의 높이를 구할 방법이 있을까요?
(원래 구보다 바닥원의 지름이 더 작아서 잘린 구는 작은 뚜껑이 아니고 큰부분이 남을걸로 생각되는데 계산을 못하겠네요ㅠㅠ

이미지추가하였습니다
변형후 구의 지름을 모릅니다

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19/09/17 10:05
수정 아이콘
구의 반지름을 빗면으로 하는 직각삼각형을 이용하면 됩니다. 바닥원의 반지름과 구의 반지름을 가지고 피타고라스 정리를 이용하면 잘린 구의 밑면에서 구의 중심까지의 거리를 계산할 수 있습니다. 잘린 구의 높이는 여기에 구의 반지름을 더하면 되구요.
포프의대모험
19/09/17 10:21
수정 아이콘
구가 녹으면서 잘린구가 되는데 전후 부피가 같으니 잘린구의 반지름을 모릅니다..
39년모솔탈출
19/09/17 10:17
수정 아이콘
(수정됨) https://ko.m.wikihow.com/원의-반지름-구하기
녹은 면의 넓이 -> 원의 넓이구하는 공식에서 -> 녹은면의 반지름
을 구하시고,
구의 중심에서 녹은면까지 선을 그으면 반지름이니까
피타고라스의 정의로
구의 반지름^2 = 녹은면의 반지름^2 + [구의 중심에서 녹은면까지의 높이]^2
을 사용하면
[구의 중심에서 녹은면까지의 높이] 를 구할 수 있습니다.
구가 중심 이상 남았으면
구의 반지름 + [구의 중심에서 녹은면까지의 높이] 를 계산하면 되고,
구가 중심 이하가 남았으면
구의 반지름 - [구의 중심에서 녹은면까지의 높이] 를 계산하면 됩니다.,
포프의대모험
19/09/17 10:21
수정 아이콘
녹은 다음 구의 지름/반지름을 모릅니다.. 녹기전 구의 지름만 알고요
타마노코시
19/09/17 10:46
수정 아이콘
녹기 전과 후의 형상이 정확히 구의 형상인지, 특히 녹은 후에서는 아래의 절단된 면을 제외한 부분을 제외하고 남은 부분이 정확히 구와 동일한 형상을 하는 지가 가정에 들어가야하는 게 맞겠지요?

녹기전 구의 부피 = 녹은 후의 구의 부피 이기 때문에
녹기전 부피 = 4/3 *pi*r^3
일 것이고
녹은 후에 대해서는 녹은 후의 구 형상의 반지름 r'에 대해서
4/3pi*r^3 = 4/3pi*r'^3 - (절단면처럼 생긴부피)
절단면처럼 생긴 부피 = 부분 구 (그러니까 호를 면적적분한 형태 ) - 절단면을 아래면으로 하는 원뿔 부피
로 할 수 있지 않을까 한데요.. 수식으로 될지 모르겠는데, 부분 구에서 중심입체각(혹은 중심각)과 원뿔 부피 구할 때의 높이의 관계식을 통해서 값이 나올 것 같네요.
서쪽으로가자
19/09/17 10:59
수정 아이콘
단면을 적분하는게 어떨까요?

요 수식 이용해서 (출저: https://blog.naver.com/leesu52/90175964946)
https://ssl.pstatic.net/images.se2/smedit/2013/6/27/hifnhsw9i2apkf.jpg

구의 부피 = 잘린구의 f(x) (동일하게 sqrt(r2-x2) 일텐데, 영역이 -r'에서 r'cos(th)까지) 에 r'sin(th) = r (r은 구의 반지름, r'은 잘린구의 반지름)
이렇게 구하면 되지 않을까요?

r'cos(th)는 r'sqrt(1-sin(th)^2) 이렇게 관계식으로 유도하면 될거 같은데....
포프의대모험
19/09/17 11:18
수정 아이콘
세타는 오디서구하죠..
서쪽으로가자
19/09/17 11:20
수정 아이콘
그래서 r'이랑 r이랑의 관계식이 sin th, cos th가 되서... 결과적으로 두 부피가 같으면,
th를 구하는 식으로 바뀌게 됩니다.... 제가 유도한게 맞는지 모르겠는데
4/3*sin(th)^3 = 2/3 + cos(th) - 1/3*cos(th)^3 이거를 구하면 th가 구해지고... 모든게 풀리게 되는데 -_-
th가 안구해지네요 -_-;;;;
포프의대모험
19/09/17 11:25
수정 아이콘
바닥면부터 잘린구중심을 r-a로 놓고 풀었더니 (뚜껑높이가a)
a에 대한 3차+-3차식이 나와서 못풀겠네요 ㅡㅡ;삼각함수 쓰는게 맞는거같은데 수학놓은지 넘오래돼서..
서쪽으로가자
19/09/17 11:34
수정 아이콘
wolfram alpha에 따르면
th = 2*0.584104 radian이 되어,
높이 = r'(1+cos(th)) = r / sin(th) * (1+cos(th)) 가 될거라,
680.735 가 된다네요 -_-

물론 저 식이 맞는지는 잘 모르겠습니다.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=4*%28sinx%29%5E3+%3D+2%2B3*cosx-%28cosx%29%5E3
https://www.wolframalpha.com/input/?i=450%2Fsin%282+*0.584104+%29*%281%2Bcos%282+*0.584104+%29%29
포프의대모험
19/09/17 11:46
수정 아이콘
저 3차+-3차식을 울프럼에 넣으니까 바로 뽑아주네요.. 잘린뚜껑높이 86.4099이고 잘린구높이가 363.5901..
회색사과
19/09/17 11:15
수정 아이콘
구가 잘린 구가 되었는데 잘린 단면의 지름이 원래 구의 지름이랑 같다구요?...

구가 맞기는 한가요?....
녹아서 모양이 변형된 게 아니라면 구의 지름은 변경되지 않고, 잘린 단면(원) 의 지름을 새로 재셔야 하는 거 아닌가요??..
회색사과
19/09/17 11:16
수정 아이콘
그림대로 잘린구의 단면의 지름이 똑같이 450 이면 잘린구가 더 커졌거나 혹은 구의 일부가 아니라 질퍼기처럼 바닥에 퍼진 형태여야 할 것 같은데요...
포프의대모험
19/09/17 11:20
수정 아이콘
부피가 같기땜에 아래쪽 잘려나간 부피가 위로 올라와서 더큰 구가 되죠..
회색사과
19/09/17 11:23
수정 아이콘
아 잘려나가는게 아니고 재흡수(혹은 재성형) 되는 거군요.
일단 구의 형태는 유지하는거지요??
포프의대모험
19/09/17 11:32
수정 아이콘
네 구가 잘린구가 되는거고 부피는 같고 잘린구의 단면 넓이와 원래구 부피를 아는상황입니다
적분해서 푸는게 맞는데 미지수가 두개라 안풀리네요
회색사과
19/09/17 11:35
수정 아이콘
저라면 회전체 적분으로 구해보겠습니다.

원래 구 부피 = 인테그랄 (새구반지름^2- x^2)dx - 를 -(sqrt(r^2 - 원래구반지름^2)) 에서 r 까지 보내겠습니다.
아웅이
19/09/17 11:15
수정 아이콘
짧은 생각일지는 모르겠는데 상황을 완전히 구체화 하지 않는 이상 못 구할것 같은데요.

녹은 상태에서 바닥에 떨어진다면, 금속이 몇도인지, 그 온도에서 금속의 연신율이나 점성이 어떤지, 비중량은 얼마인지, 떨어지는 높이는 얼마인지? 등등

붙은 상태에서 녹는다면 거기에 열원이 바닥인지 구를 감싼 전체인지 같은 요소들이 더 추가되야할것 같아요.
아웅이
19/09/17 11:18
수정 아이콘
그리고 녹아서 붙을 정도의 온도랑 충격이면 구가 아니라 찌부러진 구가 될거라서

잘리지 않은 윗쪽 반구쪽만 보면 바닥과 평행한쪽 지름은 더 커지고 높이쪽은 작아질겁니다..?
포프의대모험
19/09/17 11:21
수정 아이콘
실제론 표면장력이나 중력때문에 찌그러진 구가 되는게 맞는데 문제는 당연히 완전한 구에서 잘렸다는게 가정입니다
本田 仁美
19/09/17 11:27
수정 아이콘
완전한 구 상태가 유지 되었다면 이전 구의 반지름과 잘린 단면에서 구의 중심까지의 거리가 같지 않나요?
포프의대모험
19/09/17 11:36
수정 아이콘
아뇨 그렇게 계산해보면 잘린 후에 구부피가 훨씬 커져버립니다
本田 仁美
19/09/17 11:47
수정 아이콘
잘린 상태에서 모양은 변했는데 그 모양이 완전한 구라는 말씀이신가요?
잘린 부분이 손실이 되었다면 발생할 수 없는 현상이겠고
잘린 것이 아니라 모양의 부피는 일정하면서 잘린 것처럼 모양이 변형 되었다면 부피가 같다는 것에서
변형된 구의 반지름을 구하는 방법을 알아내야 겠네요.
위원장
19/09/17 11:44
수정 아이콘
(수정됨) 음 잘린구에 반지름을 a라 두고 잘린구의 아랫부분은 y=루트(a^2-x^2)식을 0부터 b(잘린단면 반지름)까지 적분해서 구하고 윗부분은 a를 반지름으로 하는 반구니까 계산하면 a의 3차방정식이 나와서 a 구하고 높이는 a 더하기 루트(a^2-b^2)라고 계산하면 되지 않을까요?
이거 댓글로 설명하려니까 어렵군요
포프의대모험
19/09/17 11:50
수정 아이콘
(수정됨) 원(r^2-x^2)을 -r부터 r-x까지 적분한게 225^2와 같다고 놓고 풀고
피타고라스 225^2 + (r-x) = r^2으로 r에대한 x를 풀어서
(x는 작은뚜껑 높이) 울프럼에 넣으니까 결과가 363정도로 계산이 되네요..
3차+ -3차식 구성이라 손으로는 못푸는 문제인걸로..
19/09/17 18:21
수정 아이콘
https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2+-+y%5E2+%3D+225%5E2+and+4*%28225%29%5E3+%3D+2*x%5E3+%2B+y%283x%5E2+-+y%5E2%29

x는 변형 후 구의 반지름, x+y는 변형 후 찌그러져있는 총 높이입니다.
찌르러져있는 단면의 지름이 450이면 반지름이 225니까 x^2 - y^2 = 225^2 이 돼서 왼쪽 식이 나오고,

반지름이 x인 구를 높이를 -x 부터 y까지 넓이 적분하면 나오는 결과가 pi*((2/3)*x^3 + x^2y - (1/3)*y^3) 이 나오는데 이게 (4/3)*pi*(225)^3 이랑 똑같다고 두고 공통계수 약분한게 4*(225)^3 = 2*x^3 + y(3x^2 - y^2) 입니다.

이렇게 두고 계산기한테 풀라고 시킨 다음에 x+y 하면 대충 320.368 정도가 나오겠네요.
포프의대모험
19/09/17 18:59
수정 아이콘
헉 이게 더 정확하네요. 감사합니다
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