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Date 2017/08/23 02:02:40
Name 시간
Subject [질문] 너무너무너무 지긋지긋지긋한 몬티홀 확률 문제
잠들기 직전 아는형님 소시 밀가루 터치는걸 보다가 질문을 드립니다.
어차피 답은 알고있고 해설도 알겠는데, 이 해석이 정말 [유의미한 해석]인지 문의를 남깁니다.

몬티홀. 설계자 갑이 만든 3개의 문 a,b,c. 그리고 그 중 하나의 문 뒤에만 있는 선물. 플레이어1은 선물이 있다고 생각하는 하나의 문을 고릅니다.
그리고 진행자가 플레이어1이 고르지 않은 두개의 문 중 한 개를 열었는데, 그 뒤에는 선물이 없습니다.
이 때 플레이어1이 이미 선택한 문을 바꾸는 것이 [확률 상 옳은 행위]인가?
가 몬티홀 문제인데요.

1이 세 문 중 1갤 고를때는 1/3의 확률이었는데, 문 하나가 열린 이후 둘 중 하나의 문을 고를 때는 확률이 1/2이므로, 무조건 선택했던 문이 아닌 다른 선택의 문을 고르는 것이 "확률 상" 올바른 선택이라는 것인데요.

"문 하나가 열린 그 순간, 남은 두개의 문의 확률이 1/2로 올라가면서 이미 1/3로 선택한 문의 가능성도 1/3에서 1/2로 올라간 것 아니냐?"가 이 문제의 주요 반박(?)이 아닐까 합니다.

즉, 다른 문을 고르는 행위가 "기존의 33%의 확률에서 50%로 갈아타는 행위이므로 옳다"라는 것에 대하여,
지금의 문을 유지 하는 것이 사실은 기존의 1/3을 유지하는 것이 아니라, "새롭게 발생한 50% 확률은 이미 문이 열리는 순간 인지 했고 이를 반영한 두 선택중 하나를 택했다" 가 될 수는 없는지, 이 경우에도 바꾸는 것이 옳은지 에 대한 내용이 되겠지요.
이미 수많은 역사 상 논파했을텐데, 도무지 이를 명쾌하게 이해할 수 없어서 도움을 구합니다.

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정지호
17/08/23 02:14
수정 아이콘
예전에 어디서 본 영상인데 극단적으로 문이 1억개 중에 스포츠카가 하나 있는데 9999만 9998개의 문을 열어서 뒤에 양이 있는 것을 보여주고 나머지 2개 중에 하나를 고르라고 한다면 9999만 9998개의 문 뒤에 양이 있다는 것은 내가 고르지 않은 문 중 나머지 한 곳에 스포츠카가 있다는 것이 아니겠는냐? 라는 직관적인 설명이었습니다.
물론 확률적으로는 원래 1/1억 확률에서 9999만9999/1억의 확률로 바뀌는거라 바꿔야 한다는게 답일테고요.
17/08/23 02:19
수정 아이콘
옙 바로 그 문들을 다 열어제낀 시점에 있어서, 플레이어의 입장에서 9천개의 문이 다 열렸으니,
[이제 단 두 개의 문만 남았고, 그 중 하나는 내가 선택한 문] 이라는 점에서 [기존의 선택이 업데이트 되는 것을 배제]하는 점이었습니다.
쓰다보니 이거네요. [몬티홀 문제는 왜 문이 열린 이후에 상황을 플레이어의 선택에 업데이트 반영하지 않는가]
박현준
17/08/23 02:28
수정 아이콘
플레이어가 선택한 문이 1/9999 임은 변함 없습니다. 사회자가 9998개의 문을 확인하고 9997개의 양이 있는 문을 열었습니다. 사회자가 남겨둔 문은 9998/9999 의 확률로 스포츠카가 있을것이고, 플레이어가 처음에 선택한 문 뒤엔 여전히 1/9999 의 확률로 스포츠 카가 있겠죠
17/08/23 02:18
수정 아이콘
이해를 이렇게 해보시면 빠를수도 있을거 같은데요

'내가 처음에 꽝을 고를 확률은 2/3 입니다'
'내가 처음에 꽝을 골랐다면, 바꿨을때 무조건 선물을 받게 됩니다' (나머지 꽝을 다 제거해줬으니까)
'내가 처음에 정답을 골랐다면, 바꿨을때 선물을 못받게 됩니다' (바꾸면 무조건 꽝이니까)


그렇다면 바꾸는게 받을 확률이 높을까요? 그대로인게 높을까요?
17/08/23 02:26
수정 아이콘
새로운 정보들로 업데이트 한 선택이 "기존의 문 a"든 "바꾸려고하는 문b이든" 어쨋든 "새로운 선택"이라는 행위가 1/2의 확률로 높다는 것인데..
그 "선택한 대상이 같더라도"(문 a를 1차때 3/1로 선택, 2차때 문a를 1/2로 선택)
"이는 같은 선택으로 볼 수 없다"만을 주지하면 올라른 해석이려나요??

선택받은 피사체에 집중해서 무의미한 얘기 아닌가 하고 생각하는 것 같네요;;
17/08/23 02:30
수정 아이콘
핵심을 계속 놓치시는거 같은데

내가 최초에 고른게 정답인 경우가 아니라면 '무조건 바꾸는게 정답입니다'

왜냐면 사회자가 '정답이 아닌거만 다 제거하는건데, 마지막 하나가 정답이 아닐 확률은 내가 고른게 정답일 때. 밖에 없습니다'


무작위 제거가 아니에요. '정답이 아닌거만 제거한다' 입니다.
내가 최초에 정답을 맞춘 케이스 (1/3 확률) 이 아니라면.. 무조건 바꿧을때 정답을 맞추게 되어 있으니 바꿨을때 확률이 무조건 더 높은거에요.


새로운 선택이 1/2 확률이라는것부터가 이해를 완전히 잘못하시는거 같은데..
위 케이스면 '선택을 유지하면 1/3 확률로 정답이고, 선택을 바꾸면 2/3 확률로 정답입니다'
박현준
17/08/23 02:24
수정 아이콘
이 문제의 핵심은 사회자가 "확인을 하고 난 후 뒤에 아무것도 없는 문을 연 것" 입니다. 우연히 열었는데 그 문엔 아무것도 없다가 아니고요.
illmatic
17/08/23 02:49
수정 아이콘
먼저 사회자는 우연히 문을 연게 아니라 선물이 어디 있는지 알고 있다는 사실을 생각하시고, 그 다음엔 쉬운 이해를 위해 문의 갯수를 늘려보세요

예를 들어 문이 만개에 정답이 하나라면 내가 처음 선택했을때 당첨확률은 1/10000이죠.
그 다음에 [사회자가 정답인 문과 내가 처음 선택한문을 단 두개를 제외하고 나머지 문을 다 열어주는 행위를 하는겁니다.]
그리고 나서 정답을 다시 선택할 기회를 주는거구요.

이때
내가 원래 선택한 문을 그대로 선택하는 쪽 vs 사회자가 남겨준 다른 하나의 문을 선택하는 쪽
과연 어느쪽이 높은 확률을 가지는건지 이해하시면 됩니다.
물맛이좋아요
17/08/23 02:57
수정 아이콘
사회자가 어디에 있는지 알고 열 때와

사회자가 어디에 있은지 모르고 랜덤으로 열었는데 그 때 우연히 없었을 때가 확률이 다릅니다.

지금 두번째 경우로 생각하고 계신거에요. 문제는 첫번째 경우이구요.
허니 셀렉트
17/08/23 03:28
수정 아이콘
50퍼센트가 아니라 66퍼센트로 바뀌는것입니다.
17/08/23 03:39
수정 아이콘
문제적남자에 몬티홀 문제가 나와서 이장원이 설명하는데 제가 본 설명중에 가장 깔끔하고 쉽더라고요
싸구려신사
17/08/23 04:02
수정 아이콘
사회자가 알고 선택지 하나를 없앴다는게 가장중요합니다. 수를 늘려보세요. 100개의 문이라고 가정하면 내가 맞출확률은 1퍼센트지만 98빼주고 남는 한개는 그게 아닙니다. 만약사회자가 우연히 98개 문을 열었는데 나머지한개도 살아남은 녀석이라면 내가선택한 문이나 남아있는 쟤나 똑같죠.
17/08/23 04:23
수정 아이콘
아으 저도 이해가 도저히 이해가 안되네요
문의 수를 늘리는것과 사회자가 정답을 알고 문을 연다는게 어떤 유의미한 차이가 있는지도 모르겟어요
유자차마시쪙
17/08/23 04:36
수정 아이콘
꺼라위키는 이렇게 설명합니다.
------

간단히 말해 만약 당신이 무조건 선택을 그대로 밀고나간다 하자. 그럼 처음에 반드시 제대로 골라야 된다. 사회자가 열어주는 문은 계산할 것도 없이 말이다. 즉 이 경우엔 맞힐 확률은 1/3이 된다.

반대로 당신이 무조건 선택을 바꾸기로 마음먹었다고 하자. 만약 처음에 자동차가 있는 문을 골랐다면, 당신은 꽝을 얻게 된다. 사회자는 나머지 두 개의 꽝이 있는 문 중 아무거나 하나를 열어서 보여줄 것이고 말이다. 만약 처음에 꽝이 있는 문을 골랐다면? 그러면 당신은 당첨이 된다. 사회자가 꽝이랑 당첨이 있는 문에서 꽝을 보여주고 나면 남는 하나는 당첨이기 때문이다.

즉 무조건 선택을 바꾸기로 마음먹었다면, 처음에 반드시 꽝을 골라야 한다. 그리고 그 확률은 3분의 2다.

요약하면

선택을 바꾸지 않은 상태로 자동차를 얻을 확률

= 처음부터 자동차가 있는 문을 찍을 확률
= 1/3

선택을 바꾸면 자동차를 얻을 확률

= 처음에 꽝을 고를 확률
= 2/3(여기서 중요한 점은 사회자가 오답을 바꾸는 과정에서 오답을 지워주기 때문에 내가 처음에 꽝을 뽑았을때, 바꾸기만 하면 차가 보장된다는 것이다. 고로 바꿔서 차를 얻으려면 초반에 꽝을 뽑아야 한다.)

------
되게 직관적으로 이해됩니다.
17/08/23 04:47
수정 아이콘
1번/2번/3번 중에 차는 3번에 있다고 합시다.


플레이어가 1번 선택시 - 진행자는 무조건 2번을 까보여주게 돼있습니다. 남은 2번, 3번 중에 까보일수있는게 2번뿐이니까요.
플레이어가 2번 선택시 - 진행자는 무조건 1번을 까보여주게 돼있습니다. 남은 1번, 3번 중에 까보일수있는게 1번뿐이니까요.
플레이어가 3번 선택시 - 진행자는 1/2의 확률로 1번 or 2번을 까보여줍니다.


(1) 1번선택+2번까기는 1/3의 확률로 일어납니다.
플레이어가 1번 선택할 확률이 1/3인데, 후속사건인 2번까기가 100프로니까요. 1/3 * 1/1 = 1/3

(2) 2번선택+1번까기도 1/3의 확률로 일어납니다.
플레이어가 2번 선택할 확률이 1/3인데, 후속사건인 1번까기가 100프로니까요. 1/3 * 1/1 = 1/3

(3) 3번선택+1번까기는 1/6의 확률로 일어납니다.

(4) 3번선택+2번까기도 1/6의 확률로 일어나구요.

이중 바꾸는게 유리한 경우는 (1), (2)이고
플레이어가 이런 상황에 처할 확률은 1/3 + 1/3 = 2/3 입니다.

이중 안바꾸는게 유리한경우는 (3), (4)이고
플레이어가 이런 상황에 처할 확률은 1/6 + 1/6 = 1/3 입니다.
17/08/23 05:39
수정 아이콘
[만약 진행자도 차가 어딨는지 몰랐다면]
(1)의 1번선택+2번까기의 확률은 1/6
(2)의 2번선택+1번까기의 확률은 1/6이 됩니다.
후속사건인 까보이기가 2가지 경우로 나눠지기 때문이죠.

이렇게 되면 몬티홀케이스와는 다르게
(1)+(2) = 1/3
(3)+(4) = 1/3
바꾸든 안바꾸든 기대값 비율이 1:1이 되죠. 이게 본문에서 말씀하시는 [1/2 확률이 도출되는 과정입니다.]
17/08/23 05:49
수정 아이콘
(1-1) 1번선택 + 3번까기
(2-1) 2번선택 + 3번까기
의 확률도 각각 1/6 이지만, 이경우는 본문의 가정(선택한거 말고 남은것중에 하나를 까보였는데 염소가 들어있더라)과는 다르기 때문에 당연히 제외되는 거구요.

[몬티홀이 차의 위치를 알게되면 이런 경우가 발생하지 않기 때문에 유리해지는 겁니다.]
음악감상이좋아요
17/08/23 04:50
수정 아이콘
1. 문 100개가 있습니다.

2. 당첨문은 1개입니다.

3. 무작위로 아무 문이나 고릅니다.

4. 그 무작위로 고른 문이 맞을 확률은 1/100입니다.

5. 반대로, 고르지 않은 99개의 문들 중 어딘가에 당첨문이 있을 확률의 총합은 99/100입니다.

6. 이미 당첨문을 알고 있는 사회자가 "고르지 않은 99개의 문들" 중에서 98개의 문을 열어줍니다. 당연히 당첨문이 아닌 경우만 열어서 보여줍니다. 당첨문이 50번째 문이던, 70번째 문이던, 이미 사회자는 정답을 알고있는지라, 당첨문이 아닌 98개의 문을 정확히 열어주는데 아무런 지장이 없습니다.

7. 사회자의 행동은 "처음 무작위로 골랐던 문"이 당첨문일 확률에는 영향을 주지 않는 행동만 한 것이므로, 여전히 당첨문일 확률은 1/100입니다.

8. "고르지 않은 99개의 문들" 중에서 열리지 않았던 단 1개의 문은, 5번 항목에서 이미 설명해놓은 "고르지 않은 99개의 문들 중 어딘가에 당첨문이 있을 확률이었던 99/100의 확률" 을 혼자서만 독차지하여 99/100의 확률을 그대로 계승하는 문이 됩니다. 나머지 98개의 문은 이미 정답을 알고 있는 사회자에 의해 실체가 밝혀지고 배제되었으니, 남아있는 단 1개의 문이 99/100라는 확률을 독점하게 되는 것입니다
프로듀사
17/08/23 05:00
수정 아이콘
위에 분들이 얘기하셨는데, 문제를 잘못 알고 계시고 풀이도 잘못 알고 계십니다.
사회자가 문을 열었는데 상자가 없는 게 아니고, 사회자는 상자가 어디 있는지 알고 있어서 상자가 없는 문을 골라서 여는 겁니다.
그리고 확률이 1/3 -> 1/2로 오르는 게 아니라 1/3 -> 2/3 으로 오르는 것이고, 위엣 분들이 잘 설명해 주셨습니다..
음해갈근쉽기
17/08/23 05:45
수정 아이콘
시간님은 위에 댓글로들 달아주신 내용과 거의 비슷한류의 설명을 검색해보고 읽고와서

그래도 이해가 안되니까 질문을 한거죠

시간님 입장에선 문이 100개든 1000개든 납득이 안되는 건 마찬가지일겁니다

저도 궁금하네요 주위에 시간님처럼 좀처럼 납득하지 못하는 친구가 있어서

어떻게 이해를 시키면 좋을까 고민하고 있었거든요
17/08/23 06:16
수정 아이콘
그럴땐 몬티홀 상황처럼
[일단 플레이어가 한칸 선택하고, 진행자가 남은방이 하나가 될때까지 다 까보여줬는데 죄다 꽝이더라] 라는 결과는 이미 발생돼있고, 진행자가 아느냐 모르냐에 따라 얼마나 많은 차이가 나는지 비교해보면 됩니다. 방의 갯수는 n이라고 치죠.


당첨 칸의 위치를 모를때는 진행자가 연속으로 수십개를 깠는데 다 꽝이 나오는건 신기에 가까운, 말도 안되는 확률을 돌파해야 몬티홀과 같은 상황에 [도달] 할수 있고,

당첨 칸의 위치를 알때는 그냥 1의 확률로 저 결과에 도달할수 있습니다.

[플레이어의 처음 선택이 옳았을 확률은 몬티홀놈이 차 위치를 알든 모르든 두 경우다 1/n이고요.]

차 위치를 모르고 n-2개의 방을 다 까보면 플레이어가 선택하지 않은 방이 당첨일 확률이 1/n이 됩니다. 엄청난 확률을 돌파해야되니까요. 선택한 방과 남은 방이 똑같이 1/n의 확률을 가지니 그럴땐 각각 50프로 확률로 당첨칸입니다.

차 위치를 알때는 걍 몬티홀이 까보였는데 죄다 꽝인건 당연한 일이 돼죠. 주작질에 확률이 어딨나요.
그래서 플레이어가 산택한 방의 당첨 확률은 여전히 1/n인데 주작질을 했기 때문에 그 비교대상인 남은 방이 확률을 몰빵받는 겁니다.

이건 직접 손으로 산수를 해보면 금방 와닿아요.

n이 몇개인진 하나도 안중요함..
17/08/23 06:59
수정 아이콘
전 그냥 선택자가 문을 열었는데 그게 꽝일수도, 꽝이 아닐수도 있어야 확률이 안변하는데 꽝이 아닌게 나와버려 전제조건이 바뀌었으니 당연히 확률이 변한다고 납득학 넘어갔어요...
싸구려신사
17/08/23 07:40
수정 아이콘
처음에 선택한방은 그냥 세개중 한개 골랐으니 1/3인것입니다. 위설명들을 보고도 납득이 되지않으면 포기하시는게 이로울수 있겠네요.
Quantum21
17/08/23 08:21
수정 아이콘
http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=1113&docId=108443595

네이버 오늘의 과학에 실린 몬티홀문제에 대한 글에 대한 지식인 답변입니다.

몬티홀문제를 푸는 시합에 자주 나가는 선수가 있을때
그가 어떤 전략을 취할경우 더 많은 돈을 따게 될것인지 따져보자라는 관점이 이해하는데 유익한것 같습니다.
써니는순규순규해
17/08/23 09:22
수정 아이콘
남은 두개의 문중 [당첨이 아닌 문을 여는 행위] 는 당첨 확률에 영향을 주지 않습니다.(정확히는 남은 문들의 당첨 확률을 더해 줍니다.)
A,B,C 3개의 문중에 A 를 선택하고 남은 B,C 중에는 반드시 당첨이 아닌 문이 포함되어 있고, 이 문은 1/3 의 확률로 B, 1/3 의 확률로 C 입니다.
이때 사회자가 열고 남은 문은
A 가 당첨인 경우 B - 1/6(1/3*1/2), C - 1/6
B 가 당첨인 경우 C - 1/3
C 가 당첨인 경우 B - 1/3 이 됩니다.

즉, 남은 문이 B 일지 C 일지는 문의 당첨 여부에 따라서 달라지고,
B가 남던 C 가 남던 [남은문]으로 하나의 문이 남은것 처럼 말장난을 해서 오해를 하게 만드는 겁니다.
A : 남은문 = 1/3 : B+C = 1/3 : 1/3+1/3 = 1/3 : 2/3 입니다.

비슷한데 다른 결과가 나오는 경우가 사회자가 B 를 열었는데 꽝이였다는 경우가 있습니다.
이때는 A 와 C 만 남기 때문에 50% 가 맞습니다.
A : 남은문 = A : C = 1/2 : 1/2
써니는순규순규해
17/08/23 09:26
수정 아이콘
2개의 문이 남는 경우 확률을 구해보면 다음과 같습니다.
A 선택, B,C 중 당첨은 [] 로 표시
[A] B - 1/6 확률(A 가 당첨일 확률 1/3 * B 를 선택할 확률 1/2)
[A] C - 1/6
A [B] - 1/3
A [C] - 1/3

A 가 당첨일 확률은 1/3 이고, [남은문] 이 당첨일 확률은 2/3 입니다.
지구사랑
17/08/23 10:47
수정 아이콘
몬티홀 문제의 전제는 사회자가 꽝인 것만을 보여준다는 것입니다. 즉, 꽝이 아닌 것을 보여줄 가능성은 없다고 가정해야 본 문제가 성립됩니다.
이 경우, 최초에 선택한 문을 A, 그 외를 B와 C 라고 하면, 결국 A 문을 선택한다와 B와 C 문을 동시에 선택한다의 대결이 됩니다.
B와 C 둘 중에 하나는 반드시 꽝일 것입니다. 따라서 사회자는 B나 C 둘 중의 하나를 열어줄 수 있습니다.
A를 선택하는 것이 좋을까요, 아니면 B와 C를 선택하는 것이 좋을까요?
17/08/23 12:41
수정 아이콘
사회자는 몬티홀 문제를 이미 알고 있을거고, 또 내가 고른 문이 당첨인지 아닌지도 알고 있겠죠.
그렇다면 굳이 문 열어주기 따위로 내 결정을 흔들려고 하는것은, 내가 고른 문이 당첨이기 때문이겠죠.
내가 고른 문이 당첨이 아니라면 문열어주기따위 안하고 그냥 선택종료 했을테니까요.
그러므로 처음에 고른 문이 당첨 맞습니다.

라고 생각하면 역심리전에 걸려서 패배하는거임. 기회를 줬음에도 고집부리다 패배하면 굴욕감은 두배가 되는거임.
이런 망신에 시청률은 두배세배로 뛰는거임.
큰 쇼의 사회자로 뽑히는데에는 다 이유가 있는거임.
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