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10/07/19 01:28
아니...... Definition에 의한건 알겠는데 그런 Definition이 발생한 논리적 필연성이 무엇이냐고 묻는 분한테.....
By definition 이라고 대답하는 쿨함은 대체 어디서 나오는 건지..... 정의에 왜냐 묻는건 잉? 이겠지만 정의에 그에 따른 논리적 필연성이 무엇이냐 묻는건 음. 할만하지 않나요?? 그리고 위에서 충분히 '계산에서의 편의성' 이라고 그 필연성이 제시되었으니까 질문에 대한 답도 충분하구요. 몇몇 댓글들이 너무 보기 좋지 못하네요 음음 난 1년이 지났는데 댓글 달고있을 뿐이고..........
08/04/01 23:30
곱하기를 왜 먼저 계산하는지 물으신거라면 그냥 그렇게 정해져 있어서 그런겁니다. 연산자들 사이의 우선순위를 그렇게 정한거지요. 특별한 이유는 없습니다.
08/04/01 23:31
곱하기나 나누기가 있으면 먼저,
두개가 같이있으면 먼저있는 순서대로 한다음에 나머지 덧셈이나 뺄셈을 왼쪽부터 해나가시면 됩니다.
08/04/01 23:31
음... 제 생각에는 곱하기란게 더하기를 여러번 하는 거잖아요? 그래서 2*3은 2 + 2 + 2 가 되는 거구요 의미상 곱하기 부터 해야 식이 맞지 않을까요? 어디까지나 제 생각이었습니다 -0-;;
08/04/01 23:35
그냥 약속이라기보다는 tsana 님의 말이 맞는 것 같네요. "곱하기 더하기가 같이 있으면 더하기를 먼저 한다"고 약속해버리면, 곱하기를 더하기로 바꾸었을 때랑 전혀 다른 값이 나오겠죠.
08/04/01 23:39
tsana님 말씀이 맞는 듯..... 채연이 풀었던 문제를 예로 하면 2+2*2=2+2+2 와 같죠. 즉 곱셈을 먼저 하지 않으면 저 둘은 같을 수가 없습니다. 나숫셈과 뺄셈이 혼합된 것도 마찬가지겠죠^^
08/04/01 23:42
2+2*2와 2+2+2가 같아야 할 이유가 있나요?
같아야 한다는 건 곱셈을 먼저 한다는 전제하에 그런거죠. 그냥 약속이 아닐까요.
08/04/01 23:46
루나러브굿님// +나 *나 모두 이항연산자(binary operator)입니다. 기호 앞 뒤로 각각 하나의 parameter를 가지고 연산합니다. 굳이 *를 먼저 계산해야 한다는 약속이 아니라도 예를들어 1+2*3에서 * 연산자는 바로 앞 뒤의 2와 3만을 parameter로 가지고 연산해야 합니다.
08/04/01 23:49
루나러브굿님// 2+2*2와 2+2+2가 같아야 하는 이유를 명백히 설명해 드린겁니다. 꼭 곱셉을 먼저 한다는 전제하에 저 두 식이 같아야 하는게 아니고 연산자의 정의 때문에 당연한겁니다.
08/04/01 23:50
Crom님// 그러니까 그 연산자의 정의도 결국은 사람들이 정한 약속일뿐이죠.
말씀하신 기호 앞 뒤로 각각 하나의 parameter를 가지고 연산해야 한다는 것이 말이죠. 그 약속이 아니라면 2+2*2를 4+4로 볼 수도 있으니까요. 그러나 사람들이 곱셈을 먼저 한다고 정해놓았고 말씀하신대로 약속에 의해 곱셈은 앞뒤로 하나의 parameter를 가지고 연산해야 한다고 정해놓았으니 ()를 쳐야하는 것이겠죠.
08/04/01 23:58
루나러브굿님// 뭘 알고 싶으신건지 모르겠네요 ^^;
루나러브굿 (2008-04-01 23:42:24) 2+2*2와 2+2+2가 같아야 할 이유가 있나요? 같아야 한다는 건 곱셈을 먼저 한다는 전제하에 그런거죠. 그냥 약속이 아닐까요. 전 이 질문에 대한 답을 한 것 뿐입니다. 왜 스레드가 길어지는지 모르겠는데. 그럼 저는 이만 ^^;
08/04/02 00:00
Crom님//
그러니까 근본적으로 곱셈을 왜 덧셈보다 먼저 하느냐. 라는 질문이 나왔고. 이에 대해 '2+2*2=2+2+2이기 때문이다'라는 답변이 나왔죠. 그럼 2+2*2는 왜 2+2+2와 같아야 하느냐. 라고 했고 crom님이 거기에 대해 *이라는 연산자는 앞뒤의 숫자에 대해서만 계산해야 한다고 이야기 하신거구요. 그런데 그것들은 모두 사람들이 정해놓은 약속일 뿐 논리적으로 특별한 이유가 있는 건 아닙니다. 따라서 어떤 식에서 곱셈을 덧셈보다 먼저 하는 이유가 무엇이냐고 물으면 답은 '그냥 그렇게 하기로 약속했기 때문에'가 되겠죠.
08/04/02 00:02
루나러브굿님 말씀대로라면 언어도 사회도 약속일 뿐이죠. 그 말씀 자체는 맞는 말씀입니다.
하지만 아무 것도 해결되지 않는 말이기도 합니다. 수학 자체가 약속이라는 기반으로 성립된 겁니다. 그렇다면, 문제는 '그 약속이 왜 생겼나' 혹은 '그 약속이 의미하는 바가 무엇인가' 가 되어야죠. '그냥 약속' 이라는 것을, 말하자면 '이유 없는 약속'이라는 뜻으로 사용하시는 것 같은데, 그건 예를 들어 '곱하기를 왜 *나 x로 쓰느냐?' 이런 문제에나 해당되는 이야기겠죠. (사실 여기에도 이유는 있지만 필연성이 별로 없기 때문에 이유가 없다해도 무리는 없죠.) '곱하기를 왜 먼저 하느냐?' 이것은 이유가 있는 약속입니다. 이유는 위에 설명이 되었구요. ---- <추가> ---- 쟁점은 필연성인데, 위의 설명으로도 필연성을 느끼지 못하신다면...저도 할 말이 부족하네요. 사실 이유는 루나러브굿님이 스스로 설명하신게 그게 맞는겁니다. 스스로 설명하셨지요? '이렇게 되서' -> '이렇게 되니까' -> '이렇게 되었다' 하는 식으로. 그게 필연성이죠. 이유를 가졌지 않습니까? 여기서 이유가 없는 부분은 맨 앞부분이죠. '덧셈' 이나 '곱셈' 이라는 연산이 왜 생겼는가? 이게 생겨난건 이유가 없을 수 있죠. 말하자면 필연적이지는 않다는 겁니다. (사실 저는 이것도 필연에 가깝다고 봅니다만...쩝) 하지만 그게 생겨난 이상, 곱셈이 먼저인 것이 필연이 된 겁니다. 이래도 설명이 안되나요? -_-;
08/04/02 00:03
세츠나님// 이유야 있겠지만 본질적으로 논리적인 이유는 없는 약속이 아닌가요?
저는 무엇을 해결하기 위해 댓글을 달은게 아니라 곱셈을 왜 덧셈보다 먼저 해야 하느냐 라는 질문에 대해 특별한 논리적 이유없이 그냥 사람들이 정한 약속이기 때문이다라는 이야기를 한겁니다. 유게에 엄하게 이런 댓글들 왜 달고 있는지 모르겠지만.. 그냥 저만 모르고 있는 것 같아 궁금해서 ^^;
08/04/02 00:06
그러니까 이렇게 되서->이렇게 되서-> 하는 과정이 어떤 논리적인 과정없이 그냥 '약속했기 때문에' 진행되는거라는 이야기죠. -_-;
2+2*2가 2+2+2와 같아야 하는 이유를 논리적으로 설명할 수 있나요? 그냥 *은 앞뒤의 숫자에 대해서만 계산해야 한다는 성질때문이 아닌가요? 그리고 그 연산자의 성질도 약속일뿐이구요. 본질적으로 곱셈을 왜 덧셈보다 먼저 해야 하느냐라는 문제에 대해서는 '정해진 약속이기 때문이다'라는 이유외에 별다른 답은 없는거 같네요. 2+2가 4인 이유는 논리적으로 왜 그런것인지 이유를 말할 수 있습니다. 그러나 2+2*2가 4+4가 아닌 2+2+2가 되어야 하는 이유는 필연적인 논리가 없죠.
08/04/02 00:08
아흑...그러니까, 곱셈은 '이런 연산이다' 라는 것과 덧셈이 '이런 연산이다' 라고 정해진 것은 단순히 그냥 그렇게 정해진거죠.
하지만 그렇게 정해졌기 때문에 필연적으로 곱셈이 덧셈보다 먼저 계산될 이유가 생겼습니다. 그럼 그건 논리적인 이유가 있는거죠. 아...대체 루나러브굿님이 말씀하시는 논리는 뭐죠?; 논리는 수학식으로 성립될 수 있는 겁니다. (이항논리 정도 수준까지는 말입니다) 수학적인 것 = 논리적인 것 입니다. 대체 왜 논리적인 이유가 없다는거죠?;;; 논리에는 모순으로 증명하는 방법이 있습니다. 만약 곱셈이 덧셈보다 나중에 계산된다면 동일한 식이 답이 다르게 나오는 오류가 생깁니다. 결국 역으로 곱셈이 덧셈보다 먼저 계산되는 것이 참이 됩니다. 이러면 논리적이라고 인정해주실건가요? 아...대체 논리를 뭐라고 생각하고 계신건지 좀 헷갈리네요. 우리가 용어를 좀 다르게 사용하고 있는 것 같은데요...
08/04/02 00:10
2와 +를 두개, 합의 의미로 정한건 물론 논리적인 이유가 없습니다. 이건 약속입니다.
그러나 2+2가 4인 이유는 논리적으로 설명이 가능하죠. 반면 2+2*2가 4+4가 아닌 2+2+2인 이유는 정해진 약속이다 라는 것 외에는 논리적인 방법으로 설명이 불가능하다는 이야기입니다 ; 저도 답답하네요 -_-
08/04/02 00:11
루나러브굿님// 2+2*2는 2*2 가 2를 두번 더한것을 '약속'한 것이므로 2+2와 같은 식입니다. 맞지요? 그럼 2*2 자리에 2+2를 집어 넣을수 있죠. 그럼 2+2+2가 나오겠네요. 제가 잘 설명한지는 모르겠습니다 ^^ 도움이 되셨길..
08/04/02 00:13
그냥 다수결로 하면 안되나요? ^^
tsana님에 한표. 디자인에서도 그런 논쟁이 많지요. 무조건 심미적으로. 보기 좋은게 장땡아니냐 vs 아니다 컨셉이 살아있어야 진정한 디자인이다.
08/04/02 00:13
tsana님// 말씀하신게 맞긴한데.. 2+2*2에서 2*2자리에 먼저 2+2를 넣고 계산하는거 자체가 곱셈을 덧셈보다 먼저 한다라는 전제를 깔고 있기 때문에 가능한 것이죠.
08/04/02 00:15
아...그러니까 아주 원천적으로 필연성을 가진 것을 생각하고 계신 것 같은데...
논리도 약속 위에서 성립된 것입니다. 사실 수학과 논리는 동일한 한계를 가지고 있습니다. 괴델의 불완전성 정리라는 것인데요. (아마 알고 계시는 것이라 생각됩니다만) 다시 간단히 설명드리면 수학이건 논리건, 형식화에는 반드시 한계가 내제되어 있다는 정리입니다. 더 쉽게 말하면, 어떤 논리나 수학정리도 궁극적으로 '그 이유가 뭔데?' 하고 되파고들어 나가면 어느 순간에는 "그냥!" 이라고 말할 수 밖에 없는 순간이 나온다는 겁니다. (사실 좀 더 복잡한 얘기지만;) 그러니까 루나러브굿님 말씀도 맞긴 맞습니다. 궁극적으로는 '그냥'입니다. 그런데, 그건 논리도 마찬가지라는거죠. 수학적 = 논리적 입니다. (사실 유사하다는 기호를 써야하겠죠.) 논리는 이유가 있는거다...라고 생각하시는데, 논리도 궁극적으로는 '그냥'인거죠. -_-; 이제 설명이 되었으려나요;
08/04/02 00:17
그럼 3+3*3으로 해보죠. 3+3*3 = 3+(3+3+3) = 12 입니다. 여기 괄호가 왜 들어갔을까요?
이건 곱셈을 덧셈보다 먼저 한다라는 전제 때문이 아니고, 논리적으로 이러하기 때문입니다. 3*3 = 3+3+3 (정의로부터) 그러므로 3+3*3 이라는 식에서 3*3을 3+3+3으로 치환합니다. 괄호는 치환과정에서 들어간 것입니다. 곱셈을 덧셈보다 먼저 한다라는 전제를 깔아서가 아닙니다. 루나러브굿님이 이 부분에서 오해하신 것 같네요.
08/04/02 00:18
유게에서 계속 쓸데없는 소리 지껄여서 죄송합니다 (__)
그런데 세츠나님 말씀은 아직도 이해가 안가네요. 애초에 +는 합, *는 곱의 개념을 표현하는 기호라고 정한건 물론 필연적인 이유가 없습니다. 그러나 두개와 두개의 합을 의미하는 2+2가 4인 이유는 필연적인 이유가 있죠. 여기까지는 동의하실거라고 보고. 그렇다면 2+2*2가 4+4가 아닌 2+2+2인 이유를 2+2가 4인 이유과 마찬가지로 필연적으로 혹은 논리적으로 설명을 할 수 있다고 보냐는건데. 그렇지 않다는 거죠.
08/04/02 00:19
이건 곱셈을 덧셈보다 먼저 한다라는 전제 때문이 아니고, 논리적으로 이러하기 때문입니다.
3*3 = 3+3+3 (정의로부터) 그러므로 3+3*3 이라는 식에서 3*3을 3+3+3으로 치환합니다. 괄호는 치환과정에서 들어간 것입니다. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 위에 세츠나님꼐서 다신 댓글인데 3*3을 3+3+3으로 먼저 치환하고 시작하는거 자체가 약속에 의한것이고 그 약속은 필연적인 이유가 없는 그냥 약속일뿐입니다 ;;
08/04/02 00:20
2+2*2가 2+2+2인 이유는 2*2가 2+2이기 때문입니다. 이건 정의로부터 출발한 것입니다.
곱셈의 정의에 의해 x*x = x+x+...+x (x개) 라고 할 수 있죠. 그러므로 2+2*2는 치환에 의해 2+(2+2)로 치환될 수 있습니다. 그러므로 계산은 곱셈이 있던 곳에서부터 발생합니다. 결국, 곱셈이 그런 정의를 가진 것에는 이유가 없습니다. 그냥 정의된 연산자입니다. 하지만 곱셈이 그런 정의를 가진 이상, "곱셈을 먼저 계산하는 이유"는 있다는 말입니다. 그 필연적인 이유는, "치환"이라는 또 하나의 공리에 의해 발생하죠. 치환이 왜 가능하냐? 같은 것은 교체할 수 있기 때문이죠. 이건 당연하죠? 당연한 건 이유가 없죠. 이유가 없는 두 가지이지만, '그 때문에 발생하는' 사건은 이유가 있습니다. 이상 Q.E.D.
08/04/02 00:22
2*2가 2+2인건 맞지만 .. 2+2*2에서 2*2자리에 먼저 2+2를 넣고 계산을 해야 하는지 아니면 덧셈을 먼저 해서 4*2, 즉 4+4로 넣고 계산을 해야 하는지에 대해 필연적인 이유는 없습니다.
08/04/02 00:24
저는 이제 항복입니다. 이것만 대답해주시죠.
그럼 루나러브굿님은 수학에서 '특별한 이유가 있는 것'이 무엇인지 말씀 좀 해주십시오. 그런 식으로 말하면, 수학과 논리에서 이유가 있는건 하나도 없게 됩니다. 이유라는 말이 무슨 신성한 진리인 것처럼 너무 특별시하시는 것 같네요. '궁극적 이유'는 밝힐 수 없습니다. '왜'가 없기 때문에 궁극이니까요. 무모순인 동시에 완전할 수는 없습니다. 그게 불완전성 정리입니다.
08/04/02 00:26
그러니까 2+2*2가 (2+2)+(2+2)로 치환되지 않고 2+(2+2)로 치환되는거 자체가 곱셈을 먼저 한다는 정의,그리고 *라는 연산자는 앞뒤의 parameter들만을 가지고 계산한다는 법칙이 있기 때문에 가능한거죠 -_-
그리고 그 법칙은 필연적인 이유가 없는, 사람들이 정한 약속일뿐이구요.
08/04/02 00:26
tsana님의 댓글.
" 곱하기란게 더하기를 여러번 하는 거잖아요? 그래서 2*3은 2 + 2 + 2 가 되는 거구요 의미상 곱하기 부터 해야 식이 맞지 않을까요?" 자리양보님의 댓글. "곱하기 더하기가 같이 있으면 더하기를 먼저 한다"고 약속해버리면, 곱하기를 더하기로 바꾸었을 때랑 전혀 다른 값이 나오겠죠. " 이 두 문장을 곱씹어보면 필연적인 이유를 알 수 있습니다. 2+2*2 란 식이 있기 전에, 2*2는 이미 2+2라는 계산이 먼저 이루어진 상태인거죠..
08/04/02 00:27
특별한 이유가 있는건 위에서도 말씀드렸습니다.
두개와 두개의 합, 즉 2+2가 4인건 필연적인 이유가 있죠. 3*2가 6인것도 필연적인 이유가 있구요.
08/04/02 00:28
꿀빵님// 그러니까 2+2*2에서 2*2를 2+2라는 식으로 바꾸고 시작하는거 자체가 곱셈을 먼저 한다 라는 약속 있기에 가능한 것이죠. 그런 약속이 없다면 덧셈을 먼저해서 4*2를 4+4로 바꿔서 계산하겠지요.
08/04/02 00:29
ㅡㅡ 루나러브굿 님 말씀에 한표..
연산자중 +,- 를*,/ 보다 먼저 계산 하기로 약속되어 있었다면 2+2*2 = (2+2)*2 = 8 이 되더라도 하나도 논리적으로 잘못된게 없어보이는데요..
08/04/02 00:29
2+2 가 왜 필연적으로 4입니까? 그건 사람들이 그냥 그렇게 정한거잖아요?
그건 왜 필연적이죠? 곱셈의 정의는 필연이 아니고 덧셈의 정의만 필연입니까?... 아니 잠깐, 3*2가 6인 것은 필연적이라구요?;;; 3*2가 왜 6이죠? 그건 3*2 = (3+3) = 6이기 때문 아닙니까? 그럼 2+2+3*2 = 4 + 6 = 10 이군요? 이것도 필연적이죠? 덧셈에 의해서요. 그럼 다 끝났지 않습니까? 루나러브굿님이 드신 예 자체가 곱셈이 먼저임을 증명하는데요? -_-;;;;;;;;;;;;
08/04/02 00:31
맞지요? 2+2 = 4 입니다. 3*2 = 6 입니다.
즉 2+2+3*2 = 4+6 = 10 입니다. 그럼 2+2+3*2를 순서대로 해봅시다. 14가 나오는군요. ...어? 이건 모순이죠. 모순에 의한 증명으로, 곱셈을 나중에 해서는 안됩니다. '덧셈을 먼저 하기로 약속' 하면 산술식이 성립되지 않게 된다는 것이죠.
08/04/02 00:32
..2+2가 4인 이유는 두개와 두개를 더하면 4개이기 때문이죠 -_-;;;
막대기 2개와 2개를 함께 놓으면 4개가 되는건 필연적인 이유가 있는거구요. 그리고 3*2가 6인건 3+3이 되어 6이기 때문인게 맞습니다. 그런데 2+3*2에서 이걸 (2+3)+(2+3)으로 보지않고 2+(3+3)으로 봐야하는 필연적인 이유는 없습니다.. 저도 답답하네요 -_-;
08/04/02 00:32
헉... 퇴근하고 집에왔는데 여전히 진행중이군요 ^^;
그럼 이렇게 적어보지요. 실수 a, b와 어떤 함수 f가 있어서 a+f(b) 라는 식의 값을 알고 싶다고 하면 당연히 f(b)를 먼저 계산해야 할겁니다. 왜냐면 f(b)의 값을 모르니 a와 무슨 수를 더해야 할지 모르니까요. 곱의 개념이 합의 개념에서 나왔다는 것은 명백합니다. 합의 개념이 먼저 있고, 계산의 편리함을 위해(돼지저금통 배 째서 동전 세는 상황을 생각해보세요. 곱셈이 고맙죠) '나중에' 곱셈이 만들어진 거죠. 따라서 곱셈(a,b) 라는 함수가 있어서 이건 a를 b번 더하는 합으로 표현되는 함수라고 해봅시다. 2+2*2 라는 식이 던져졌을 때, 우리는 2*2 라는 "함수식"이 무슨 값을 가질지 모르기 때문에 * 함수의 정의에 의해 2*2를 2+2로 바꾸고 그 값을 계산한 뒤 앞의 2와 더해야 합니다. 답글이 유머가 되어가네요 ㅠㅠ
08/04/02 00:33
아...그러니까 '산술식이 성립 안되는 약속'은 왜 하면 안되냐 이 말씀이었던 건가요?............................
그렇게까지 말씀하신다면...정말 할 말이 없는거죠. 완전하면서 무모순일 수는 없지만, 적어도 수학 체계는 불완전하더라도 무모순이어야죠. 덧셈 곱셈 계산에서 조차 답이 안나온다면 그건 '필요없는' 수학이 되잖아요.
08/04/02 00:34
Crom님// 2+2*2라는 식을 a+f(b)라는 식으로 놓는거 자체가 이미 곱셈을 덧셈에 우선한다라는 약속하에 가능한것인데요..
08/04/02 00:35
사람들이 정한 약속대로 하면 안되는건가요...
그렇게 따지면 +나 -같은 기호들도 그냥 필연적인 이유 없이 사람들끼리 정해서 쓰는 기호에 불과하죠... +가 어디를 봐서 뭘 보태는 모양이고, -가 어디를 봐서 뭘 덜어내는 모양입니까... 수식이라는 것 자체가 '이러한 숫자들과 기호들이 있으면 이렇게 계산하자'라는 약속에 불과할 뿐입니다. 우리가 화성인끼리 쓰고있는 수식을 본다면 그게 뭔지도 모를꺼에요.
08/04/02 00:36
컴퓨터가 계산하는 방법도 그러하지만, 사실 모든 계산은 "+" 덧셈 연산자만 가지고 가능합니다.
뺄셈도 음수를 덧셈하는 것이고, 곱셈도 덧셈을 여러번 하는 것이고, 나눗셈도 뺄셈을 여러번 하는 것이니 결국 모든 연산자는 덧셈 연산자로 바꿀 수가 있습니다. "곱셈 연산을 한다"가 아니라 따지고 보면 "곱셈 연산자를 덧셈 연산자로 바꾸어 덧셈 연산을 한다"지만 이 과정을 우리는 구구단도 외우고 있고 하기에 단축시켜서 바로 해버리는 것이지요. 3*4라는 곱셈 연산이 있을 때, 우리는 직관적으로 3에 4를 곱한다고 하지만, 사실은 3+3+3+3 입니다. 3*4를 계산하려면 구구단을 외워서 12가 아니라 3+3+3+3으로 고쳐서 3을 네번 더해서 12가 되어야 합니다. 하지만 이러한 방법은 너무 번거롭고 쓰기에도 길고 하기에 외워서 하는 것 뿐이죠. 실제로도 만일 우리가 구구단을 외우고 있지 않다면 곱셈 연산자의 정의를 알고있어도 저런 식으로 덧 셈으로 풀어 써서 계산할 겁니다. 즉, "곱셈 연산이 먼저" 가 아니라 "곱셈 연산을 덧셈 연산으로 풀어 쓰는 것이 먼저" 입니다. 2+2*2에서 앞의 덧셈이 먼저냐 뒤의 곱셈이 먼저냐가 아니라 2*2를 2+2로 바꾸는게 먼저입니다. 뺄셈이나 나눗셈도 이런식으로 모 두 바꾸면 전부 덧셈 연산자만 남으니 연산자의 우선순위가 없지요.
08/04/02 00:36
Crom님 //
일단 지금 쓰이는 약속에 의하면 그 말씀이 정답인건 맞습니다만... 지금 루나님 말씀데로라면 a+f(b) 를....a+f=g 로 보고 g(b) 로 계산 한다....뭐 그런거 같은데요..ㅡㅡ; 이렇게 약속 되어있었다면 또 이것도 정답아닌가요..
08/04/02 00:38
루나러브굿님// 곱셈을 먼저 한다 라는 정의가 있어서 곱셈을 먼저 하는게 아니라요.
곱셈을 먼저 하지 않으면 식 자체가 성립이 안됩니다. 약속을 하느냐 안하느냐의 문제가 아니라요. 2*2 라는 식만 있다고 치면, 2*2 = 4 이죠? 2+2*2 에서 만약 +를 먼저 계산해버리면, 4*2 = 8 로 틀린 값이 나와버립니다. 곱셈을 먼저 한다는 정의가 있어서 곱셈을 먼저 한다기보다 그래야만 맞기 때문에 먼저 하는 것입니다. 설마 2*2 = 4라는 정의에 원인을 따지는건 아니시겠죠..?
08/04/02 00:38
곱셈 먼저, 덧셈 먼저 이야기가 나오는게 우리가 구구단을 외우고 있기 때문입니다. 그리고 구구단 또한 편리를 위해 외우는 것이지 구구단을 외우는것이 수학이라고 생각하지는 않습니다.
2*2의 값이 무엇인지 5*3의 값이 무엇인지 외우고 있지 않다고 생각해보세요, 어떻게 계산하나요, 2를 두번 더하고, 5를 세번 더해보겠죠? 결국은 덧셈으로 모두 풀어씁니다. 우리가 생각하는 "곱셈"이라는 연산 자체를 하지 않기 때문에 우선순위라는게 말이 안되는겁니다.
08/04/02 00:39
Lupus님// 곱셈 연산이 덧셈에서 온건 저도 알고 있는데요.
우선순위를 정할 때 왜 먼저 바꾸고 해야 하는지에 대해서는 아무도 필연적인 이유를 설명해주지 않고 계십니다. 즉 2+2*2를 (2+2)*2로 그리고 그걸 (2+2)+(2+2)로 바꾸더라도 논리적인 하자는 없어보입니다. 2*4를 2+2+2+2로 바꿀 수 있고 덧셈에서 곱셈이 유래되었다는 건 저도 압니다. 그런데 '2+2*2라는 식에서 왜 꼭 2*2를 먼저 2+2로 바꾸고 시작해야 하느냐. 앞의 덧셈을 먼저 하고 곱셈을 풀어쓰면 안되느냐라'라고 묻는다면 '그냥 그렇게 정했기 때문에'라는 거에는 별다른 이유가 없습니다. 2+2*2를 (2+2)+(2+2)로 바꾸더라도 덧셈을 줄여쓴것이 *이라는 본래 정의는 전혀 훼손되지 않기 때문이죠.
08/04/02 00:40
꿀빵님// 그러니까 2+2*2를 4*2=8로 보는게 틀렸다고 하는거 자체가 곱셈을 먼저 한다는 약속을 전제하에 두고 있기 때문이죠.
08/04/02 00:41
조금만 덧하면, 연산자의 우선순위가 존재하는 이유는 루나러브굿님의 말씀처럼 토대없이 정해진 약속의 개념이 아니라, 정해진 토대내에서('공리'라고도 하는 것) 이유가 필히 존재해 생겨난 것입니다. 위에서 세츠나님도 말씀하셨지만, 만약 덧샘기호의 생김새를 논하실 때 지금처럼 말씀하신다면 논리전개의 흠결이 없겠지만 지금상황에서는 사실 논점이탈의 이야기입니다.
08/04/02 00:43
세츠나님// 마지막에 말씀하신 논리도 결국은 곱셈을 우선한다. 곱셈은 앞뒤의 parameter를 가지고만 계산한다라는 약속이 있기에 가능한것일 뿐입니다 ; 제가 말한 두가지 약속중에 후자의 약속도 사람들이 임의로 정한 약속일뿐인데 세츠나님은 자꾸 그걸 간과하고 설명하시네요.
솔직히 저는 아직도 전혀 이해가 가지 않습니다만;; 별 의미있는 논쟁이 아닌거 같고 저만 이해를 못하고 유게에서 뻘짓하는거 같아 이만하겠습니다. 뭐 제 머리가 나쁜탓이겠죠. 혹시 유게에서 짜증나신 분들 있다면 죄송..
08/04/02 00:45
세츠나님// 덧셈을 우선순위에 둔다는 가정하에 본다면 해당 증명이 잘못되었네요,
곱셈을 덧셈보다 항상 나중에 하기 때문에, (2)와 (3)을 더하면 해당 식은 2+2+3*2 가 아니라 (2+2) + (3*2)가 되죠, 반대로 덧셈을 먼저 한다고 가정했기 때문에 (1)의 식에 괄호를 쓴다면 (2+2+2) * 3이 되죠. 다른 식이 됩니다. 따라서 (2)+(3) 식은 (1) 식과는 다른식이 됩니다.
08/04/02 00:45
Tabloid님// 개념 좀 정립해주시죠? 보통 사람들에게 대수학은 쉽지 않은 과목일텐데요?
어쨌든 제가 본 것 중에 multiplication을 addition보다 먼저 해야한다는 공리는 못 봤습니다
08/04/02 00:47
Lotus님// 여기서 나오는 수준은 대수학 앞부분입니다. 정수론에서도 아주 앞부분이구요 -_-
그닥 안어려운데요... -_- 참 말 이뿌게 하시네요
08/04/02 00:50
Tabloid님// 살짝 덧하면, -_- 라는 이모티콘은 대화상대 혹은 글을 읽는 독자들에게 불쾌감을 줄 수 있습니다. 또한 Tabloid님의 말씀에서는 -_-의 다중사용에 더불어 대화의 태도가 상대방을 무시하는 듯한 느낌을 지울 수가 없습니다. 그게 Lotus님의 말을 거칠게 한 원인이 아닐까요?
08/04/02 00:50
Tabloid님// 어렵지 않다면 여기 오는 모든 사람이 이해할 수 있게
지금 논쟁의 중심이 되는 걸 한번 대수학의 내용을 통해서 설명해 주세요
08/04/02 00:52
Tabloid님// 저두요...
비꼬는게 아니라 진짜로 알고 싶어서 그래요... 사실 학생도 아니고 일반인이 따로 대수학 내용을 찾아 보긴 어렵거든요.
08/04/02 00:54
그렇군요. 내재적인 모순은 안생기는 것인가요? 제가 증명을 잘못했네요. '덧셈을 먼저 한다'를 전제에 두면 모순이 안생기겠군요.
저는 일반적 수학 공리계 2+2+3*2 = 14라는 것을 넣으면 당연히 모순임을 증명한 것이 되네요. 그러니까, '덧셈을 먼저 하는 공리계'를 만들면 여기에는 모순이 없다는게 루나러브굿님 주장이라면 그건 가능한 건가요? (다만 그래도 무모순이면 불완전하다는, 지금의 수학과 동일한 한계점에 봉착을 하겠죠. -_-)
08/04/02 00:56
다 읽기 힘들어서 그냥 주르륵 내려왔는데요. 그래서 뭐 위에 답글중에 비슷한 글이 있을지도 모르겠네요. 다 읽긴 엄두가 안나요
2+2*2에서 곱셉을 덧셈보다 우선시 한다고 약속을 한게 아니라 곱셈의 개념부터 보면 2+2+2+2+2+2+2+2+2+2(2를 10번 더한것)을 다쓰면 너무 기니까 2*10으로 쓰자! 라고 약속을 했다고 생각하시면, 2+2는 2를 2번 더한것이니 2*2이라고 쓰자! 라고 약속을 한것이구요 (뭐 +기호는 더하기로 쓰고 -기호는 빼기로 쓰고 하는것같은 약속중의 하나겠죠..) 위의 개념을 가지고 2+2*2의 식을 보자면 순서대로 계산을 하기 전에 *라는 약속부터 풀어야겠죠?
08/04/02 01:01
개인적인 생각을 적어봅니다.
개인적으로 수식도 하나의 언어라고 생각합니다. 보편적인 수식같은 경우 context-free language로 전부 표현할 수 있죠. 하지만 수식을 표현할 경우 이 수식을 읽을 때 우선순위가 없다면 어쨌든 모호성이 발생하게 됩니다. 짧은 수식이라도 parse tree로 표현해본다면 알 수 있죠. 따라서 모호성을 없애기 위해 우선순위를 부여하게 됩니다. 곱셈이 우선이어야 한다는 논리적인 근거는 없어보입니다. 왜? 언어 규약상 곱셈이 우선입니다. 덧셈이 우선이어도 모호성이 해결 되나 곱셈이 우선입니다. (덧셈이 우선이어도 현재의 모든 수식 또한 표현이 가능합니다.) 그것은 이 "수식"이라는 언어에서 정해놓은 일종의 규칙이라고 할 수 있습니다. 지구 어딘가나 혹은 다른 행성, 다른 차원에서는 덧셈이 우선일 수는 있습니다. 아니 그 이전에 덧셈보다 곱셈을 우선하라고 누가 강요한것도 아닙니다. 자신이 덧셈을 먼저 계산하고싶다면 먼저 하면 됩니다. 다만 그것은 "수식"이 아닌 "수식2" 같은 다른 언어를 사용하고 있는 것이지요. 서로 커뮤니케이션이 안됩니다. 따라서 서로 원활한 소통을 위해 이러한 규칙을 정해놓는 것입니다.
08/04/02 01:03
前 수학과 학생으로서...
대수학은 잘 기억이 안나지만;; Lupus님의 설명 하나면 끝날거 같은데 말이죠~ 그나저나 Tabloid님의 리플은 남들이 볼 때 불쾌하기 딱 좋네요. 쉽게 설명은 못해줄 망정 위에서 내려다보는 말투로 한심한듯이 쳐다보니-_-a 수학하는 사람이라고 보기엔 참... 한심해보입니다.
08/04/02 01:06
Lotus님//
저도 확실한지는 가물가물하지만, 다항식에 정의에서, 항 : 곱으로 이루어진 수와 문자 다항식 : 2개 이상의 항으로 이루어진 식. 위에 정의에 따르면 곱을 먼저 계산하는 것이 약속되어 있다고 생각해야 하지 않을까요? 그리고... 나눗셈과 곱셈은 수학에서 덧셈으로 표현할 수 없습니다. 곱하기 0또는 0을 나누는 것, 0으로 나누는 것등의 표현은 덧셈으로 불가능하죠.
08/04/02 01:07
이쯤에서 내일봐의 지식인을 한번 보죠.
re: 덧셈 곱셈에서 왜 곱셈부터 계산하나요? 답변채택률 0% 2005.07.29 15:17 안녕하세요^^ 답변드리기 전에 서론을 얘기하자면 님께서 하신질문은 다른말로 하면 왜 딸기를 딸기라고 하냐고 묻는 경우와 같습니다...그건 사회통념상으로 언어의 혼란을 막기위해 지키자고 하는 언어의 약속과 같습니다.. 덧셈,곱셈중에 곱셈을 먼저 하자는 것도 일종의 수학의 약속이죠...정확한 수학적 이유는 저도 잘 모르지만 만약 최초에 덧셈부터 계산한다라고 약속을 했다면 덧셈부터 했을겁니다..하지만 이런 약속없이 계산을 하게되면 실예로 들어보겠습니다..2+5*3..이같은 문제가 있을시 곱셈을 먼저하면 답은 17이 됩니다..하지만 덧셈부터 하게되면 21이라는 상이하게 다른 답변이 나오는 것입니다.. 이와같은 혼란을 방지하기위해 그런 약속을 정한것입니다,... 그냥 약속이랍니다.
08/04/02 01:08
간만에 대수 책을 다시 꺼냈네요 -_-;
뭐 서로 오해 있던거 같으니, 그건 제가 죄송하다고 먼저 사과드리고 시작하자면. 아, 잠깐, 저도 대수 전공은 아니라서요 (확률이랑 매져 쪽이라) 알고 있는 수준이 학부 수준입니다. 그러니 틀릴지도 모릅니다. 가장 벙찌게 만들어 드릴 수 있는 답변은, by Definition입니다 -_- Group과 Ring (뭐 이 용어는 굳이 쉽게 말하자면 여러분들이 다 쓰시는 연산으로 정의된 집합을 생각하시면 됩니다)에서 곱이 우선한다고 정의했기 때문입니다. 그래서 세츠나님의 증명을 루나러브굿님이 이해 못한다고 하신거구요. 현재 정의상으로는 세츠나님의 증명이 맞습니다. (뭐 그건 루나러브굿님도 당근 인정하실테고요.. 현재 연산으로 Group을 정의했으니) 그리고, 정수 집합 내에서 연산은 위의 Lupus님이신가..께서 말씀하신 그대로입니다. 뭐, 덧셈이 앞서도록 Ring을 정의해도 글쎄요... -_- 어찌될까요? 저도 그렇게 연산을 뒤바꿔서 사용해본 적이 없기 때문에 구체적인 답을 드리긴 좀 그렇지만 -_-a 막연히 드는 생각은 어디서 꼬일거 같다 정도입니다. 말씀드린대로 대수를 별로 안조아해서 시키는대로만 숙제했어서요 -_-; 다만, 루나러브굿님께서 만약에 '그럼 실수집합은 왜 그렇게 정의한건가요?' 라고 한다면.. 음.. -_- 맞는 설명이라고 할 수 있을지 모르겠는데, 가장 쉽게 설명드릴 수 있는 정수 집합에서의 연산에서 곱셈으로 축약한 연산을 실수로 확장했을 경우에도 그대로 맞도록 애초에 설계했기 때문입니다. 굳이 잘 정의된 연산을 더 넓은 공간으로 확장시키는데 다른 연산을 사용해서 헷갈리게 할 이유가 전혀 없기 때문이죠. 아, space 별로 다른 형태로 곱셈을 정의하는 것도 가능합니다. a*b를 전혀 다른 방식으로 정의하는거죠. 가령 수능 문제에 자주 나오는 독특한 연산 기호를 사용하는게 굳이 예라면 예일거 같습니다. 한마디로, '당연한 얘기다'가 결론입니다 -_- 굳이 그 밑바닥으로 가자면 Lupus님께서 말씀하신게 가장 맞습니다. 시작부터 다르게 정의해도 상관은 없습니다. 다만 혼자 그렇게 말씀하시는게 되니까 소통이 되긴 어려우실 겁니다 ^^;; 수학도 일종의 소통의 언어라서요... 사실 대수학이랑 큰 관련도 없습니다. 첫 패이지에 정의가 있어서 다시 보게 됐네요. 근 5년만에 대수 책을 다시 펴니 원.. -_- 정수 집합에서의 곱셈 연산은 부분합의 축약이라고 보는게 합리적이니까요. 굳이 대수학이라고 얘기할만한 수준의 내용도 아니죠. 한줄 요약은 '정의상 맞다' 입니다^^; 아, 그리고 수학과니 대수학이니 얘기한건, 유게에서 솔직히 이런 식의 감정이 섞일 수 밖에 없는 게시판 논쟁을 보는게 좋지 않아서 권위에 호소해보려 했던 겁니다. 물론 잘못된 방법이었으니 제 책임으로 인정합니다만, 엔간하면 리플로 대화하실 때는 찬찬히 읽어보고 오해없이 서술하도록 해주셨으면 합니다. '대수학' 파문에 불쾌감을 느끼셨다면 사과드리겠습니다 ^^;
08/04/02 01:10
루나러브굿님/ 수정했습니다. 차분하게 다시해볼게요. ^^;
개념적으로 곱셈이 덧셈보다 나중에 생겼으므로 곱셈식은 덧셈식으로 치환이 가능하게 되있습니다. 그런데, 그걸 "왜 그러냐? 필연적인 이유가 있냐?" 라고 물으신다면 상당히 곤란해집니다. 그 부분이 공리상의 한계라고 말씀드리고 있습니다. 거길 찌르면 수학의 뼈와 살이 분리가 된다죠. 그게 불완전성 정리고요. 무모순이면서 완전한 공리계는 없다는 얘깁니다. 덧셈식을 곱셈식으로 치환해야하는, 덧셈이 우선인 무모순 공리계...만들 수 있을 것도 같군요. 하지만 그럴 이유가 없고 전혀 편리성이 없죠. 이건 이유가 안되나요? 그래도 '그냥'은 아니잖아요. Lupus님 말씀대로 Ambiguous 문제를 없애려면 연산자 우선순위는 있긴 있어야 됩니다. 그래서 저는 현재의 수학에 비추어서 루나러브굿님 말씀을 자꾸 해석하다보니 오해가 생긴 듯하네요. 그러니까, 루나러브굿님 말씀이, 애초에 덧셈을 곱셈보다 먼저 계산하는 수학을 만들 수는 없었나? 라면 그건 모르겠습니다. 논리연산이나 괄호연산을 최고 나중에 하는 공리계도 어쩌면 가능하겠죠. -_- 하지만 지금의 수학체계에서 덧셈과 곱셈의 우선순위만 바꾼다는 것은 불가능합니다. 음...이렇게 되면 제가 오해한 것인가요?; 하지만 '어째서'를 물으셨지요. 저는 어디까지나 '우리가 사용하는 수학 내에서' 이유를 찾으려 했는데...쩝;
08/04/02 01:10
Lupus님// 루나러브굿님이 말씀하신 논지는 충분히 이해가가고 제기될 수 있는 의문이었습니다. 그에 대한 적절한 설명 감사드립니다. 근데 한가지 의문점이 있는데, 그러면 결론적으로 '곱셈연산자'가 '덧셈연산자'에 우선한다. 라는 주장은 그 자체로서 공리적인 성격을 가지고 있는 건가요? 말씀하신 이야기가 그에 대한 답변하신 것이긴 하지만, 저는 그 전에 곱셈과 덧셈의 자체 약속상 그에 기반을 두고 생겨난 개념이라고 생각했거든요. 연산자의 우선순위라는 것이.
08/04/02 01:11
.. 덧붙이자면 수식 역시 하나의 language로 접근하는 시각이 필요하지 않나.. 생각됩니다.
사실 맞는 말이죠. 가장 간단하게 표현할 수 있는 language중 하나가 수식이니까요. 계산을 해서 결과값이 참인지 거짓인지가 중요한 것이 아니라 수식을 해석함에 있어서 모호성 없이 해석될 수 있는가가 language로서의 수식이 꼭 가져야만 할 중요한 포인트가 아닐까 생각이 됩니다. 논리적으로 설명하는 것이 불가능합니다. 그보다 애초에 논리적으로 설명할 필요가 없는 부분이었습니다. 위의 리플에서도 말했듯이 덧셈과 곱셈의 우선순위가 바뀐 수식2라는 language또한 만들 수 있습니다. 그리고 번역을 조금만 하면(괄호의 사용이라던지) 기존의 수식에서 쓰이던 모든 표현을 수식2로도 표현할 수 있습니다. 와우, 대단하죠. 난 이제 수식2 언어의 창시자이고 수식2를 사용할거야!! 네, 사용해도 됩니다. 다만 명심해야 할 것은 사람들이 사용하는것은 기존의 수식이라는 언어이고 자신이 사람들이 사용하는 수식을 받아들이거나 혹은 다른사람에게 표현할때는 필히 번역의 과정을 거쳐야 한다는 것이지요. 귀찮죠. 모두가 수식을 쓰는데 자기 혼자, 혹은 소수만 수식2를 쓰고, 그래서 안쓰는거죠. 수식2가 논리적으로 맞지 않고 거짓이 아니라, 안쓰는 겁니다.
08/04/02 01:14
그리하여.....다음과 같이 이해해도 될까요?
곱셈기호의 탄생과 덧셈기호 사이의 연관성 여부가 핵심이다. 곱셈기호 = 괄호안에 든 반복덧셈 곱셈기호는 덧셈으로부터 태어났다. 이렇게 본다면 당연히 곱셈이 덧셈보다 우선이어야 하겠고, (곱셈 자체로 이미 괄호된덧셈라는 뜻이니까) 무리를 해서라도 굳이 '곱셈기호와 덧셈기호는 서로 아무 연관이 없는 독립적 약속'이라고 보자면 곱셈과 덧셈 사이의 우선순위는 없다.
08/04/02 01:16
수식은 랭귀지 맞죠. 계산이론 배우다보니 '아..' 하는 생각이 절로 들더군요. ^^;
내가 아무 생각없이 공부하던 컴퓨터란게, 수학이란게 이런거였구나. 폰 노이만, 튜링이 이런 일을 했구나. 어떻게 보면 상당히 전율을 주는 내용이죠. 모든 프로그램은 가상의 튜링 머신으로 답을 낼 수 있다는...;
08/04/02 01:16
임요환의 DVD님// 음 글쎄요.. 곱셈기호가 괄호안에 든 반복덧셈이라 할지라도
덧셈이 곱셈보다 우선한다고 하면 2+3*4 같은 경우에 5*4 = (5+5+5+5)가 되지 않을까요. 수식 규약상 곱셈을 우선 덧셈으로 치환한다라는 내용도 있어야 할 듯..;;
08/04/02 01:20
PilgRim님의 댓글..
곱하기 0 은 덧셈으로 표현할 수 없기 때문에 곱셈 = 덧셈은 성립하지 않는다. Lupus님 말씀대로 다른 수식으로 표현할 수 있다면.. 이 문제는 어떻게 해결하나요?
08/04/02 01:20
현재 우리가 사용하는 수학이나 과학은 모두 지금 사용하는 수식이라는 언어에 기반을 두고 있기에 language로서의 수식보다 수학적인 접근을 먼저 하면 답이 나오지 않는다고 생각합니다 :) 그냥 규칙이다, 가 가장 적절한 해답일 듯 하네요, 왜 그러한 규칙이 정해졌는지 그 근원은 따라가봐야 알겠지만 말이죠.. ^^;
세츠나님 // 물론 알고리즘이 없는 halting problem도 있죠 ^^;;
08/04/02 01:20
맨처음 루나러브굿님이 의문을 제시하신 것은 tsana님이 덧셈과 곱셈의 우선순위가 생긴 이유가 '그냥 약속이기 때문'이 아니라 '그렇게 되는 것이 곱셈과 덧셈의 정의상 당연하기 때문'이라고 했기 때문인 것으로 압니다. 그러니까 곱셈을 먼저 하는 것이 그것이 좀더 편리하기 때문이라거나 그것이 정의상 좀더 자연스럽기 때문이라는 정도의 문제가 아니라 정말 당연한 것인지를 묻는 것 같은데요. 거기에 대답이 그런 것은 아니고 곱셈을 먼저 하기로 약속했기 때문이다. 라고 하면 처음부터 논쟁할 거리가 안 되는 것 같애요.
08/04/02 01:22
Lupus님/ 그러려면 완전 별개의 공리계가 되는데, 설마 루나러브굿님이 그걸 얘기하셨던 걸까요...-_-;
애초에 '다른 수학'을 할 수도 있지 않느냐? 이런 이야기가 되잖아요. 끙... 그런데, 그렇게 되면 그냥 *나 + 기호가 없는 수학도 만들 수 있지 않느냐, 이것과 같은 문제 아닌가요? 논리에서 !하고 ^만 가지고 였던가? 모든 연산이 가능하다는...그런 문제라던가; 이건 단순한 우선순위 문제에서 벗어나서 너무 폭이 넓어진 이야기가 되는 것 같거든요. 넴 Halting problem 있죠. 루프 돌구요...그냥 번역할 수 있다고 해야겠군요 ^^;
08/04/02 01:23
세츠나님// 근데 맞는 말이죠,
어쨌든 원인이 되었던 수식이나 그 이전에 우리가 "당연시하는" 수학 역시 하나의 공리계를 기반으로 해서 이야기되는 것이니까요.
08/04/02 01:24
꿀빵님// N*0=0이면,
0+0+...+0=0입니다. 0은 우리가 알고 있는 일반적인 수가 아니라, 덧셈의 항등원이라고 정의하기 때문에 문제가 없습니다
08/04/02 01:25
Lupus님/ 네...그렇게 되면 어쩔 수 없이 불완전성의 정리로 변명할 수 밖에 없을 듯 한데요.
공리는 이유를 물어봐도 무의미하잖아요. -_-; 거기에 '왜냐?' 라고 묻는 것 자체가 좀 답답한 기분이 들지 않나요;
08/04/02 01:25
임요환의 DVD님// "괄호가 우선" 이전에 "치환이 우선" 이 아닐까요
곱셈을 덧셈으로 치환이 우선이라는 이야기가 없으면 2+3*4를 2+(3+3+3+3) 로 바꾸는 작업을 먼저 할 이유가 없다고 봅니다 2+3을 먼저 하고 5*4를 치환할 수도 있잖아요~
08/04/02 01:28
Lupus님// 복잡하게 해서 죄송합니다.
댓글 지우고 다시 썼습니다^^ 곱셈기호 = '괄호안에든' 반복덧셈 에 관한 설명중에 '괄호는 우선'이라는 사실과 '덧셈이 우선할 수도 있다'가 충돌하기 때문에 '덧셈이 곱셈보다 우선이라면'이라는 가설은 괄호의 존재가 있는 한 불가능한 전제가 아닌가요? (치환이 먼저냐 기호처리가 먼저냐의 우선순위 문제는 완전히 다른 질서이므로) 괄호가 있다면 곱셈은 이미 존재하지 않게 되잖아요.
08/04/02 01:29
임요환의 DVD님// 곱셈기호='괄호 안에 든' 반복덧셈에서 '괄호 안에 든'이라는 것을 넣는 것이 불필요한 것 아닐까요. 그거 빼도 곰셈기호는 정의될 테니까요
08/04/02 01:30
임요환의 DVD님// 그럴수도 있지만.. 현실에서도 우선순위가 높은 것은 괄호를 생략하는 것 뿐이지 (2*3)+4 라고 해서 틀린것은 아니지 않나요 ^^;
08/04/02 01:32
세츠나님// 초성 기역(자음이 표기가 안되는군요)<-- 이 기호를 기역으로 읽느냐 니은이라고 읽느냐는 읽는 사람 마음입니다.
다만, 다른 사람들과 소통하기 위해서는 정해진 규칙은 서로 만들었겠죠. 연산에 대한 규칙도 마찬가지라고 보면 될거 같네요. 정의나 공리는 모든 증명의 시작점인데 그걸 증명하는 것은 불가능하죠^^;;
08/04/02 01:35
즐거운하루님// 그 위에 제 댓글에 있었던 두가지 갈래중에서 첫번째를 얘기한 것이구요, 즐거운하루 님 말씀은 두번째 갈래에 속하는 것 같습니다~
Lupus님// 아무래도 '+x기호 사이의 우선순위, +x기호 사이의 포함관계 문제'와 '치환도 순서 기다려서 해야 한다고 봐야 하나 자동이라고 봐야 하나' 두 문제 각각에 대해, 그리고 둘의 연관성에 대해 제가 개념이 부족한 것 같습니다. 답변 감사합니다^^
08/04/02 01:43
<a href=http://may.minicactus.com/103511
target=_blank>http://may.minicactus.com/103511 </a> 작은 인장님의 블로그에서 퍼왔습니다. 댓글 안단다고 했지만 이건 제 생각과 같을지언정 제가 쓴 글은 아니니 ^^; ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 우리는 초등학교 3~4 학년 때에 사칙연산에 대해서 배운다. 그 이전에 덧셈, 뺄셈, 나눗셈, 곱셈을 배우지만, 이들을 섞어서 배우는 것은 이때가 처음이다. 그런데 사칙연산을 배울 때 왜 덧셈과 뺄셈을 곱셈과 나눗셈보다 늦게 계산해야 하는지에 대해서 공부하거나 생각해 본 적이 있었나? 사실 부끄러운 일이지만, 이에 대해서 고민하는 사람은 거의 없었다. 물론 나도 마찬가지다. 처음 사칙연산의 계산순서를 정한 때가 언제인지는 모르겠지만, 그 누군가가 정해놨기 때문에 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈보다 먼저 계산해야 하는 것이 아닐까? 아마 정확히 사칙연산의 순서가 결정된 것은 1,8세기 후반에 각종 계산기호들이 결정될 때에서야 따라서 결정됐을 것이다. 오늘날 우리가 사용하는 계산기호들은 어느 누군가 혹은 어떤 단체에 의해서 결정된 것이 아니라 100여 년간에 걸쳐 많은 수식기호들이 출판업자들에 의해 시도되고, 그 결과로 가장 많은 사람들에 의해서 지지받은 기호들로 정착된 것이다. 100년간은 사람들이 수학과 과학을 공부하기 위해서 여러 가지 표기법을 익혀야 했었다. 이렇게 경쟁했던 기호들 중에 대표적인 것이 '='와 '∥'이었다. 물론 우리 모두가 알고 있는 것은 싸움의 승리 기호인 '='인 것일 테고……. 그렇다면 왜 덧셈보다 곱셈을 먼저 계산해야 하는가? 그건 우리가 그렇게 결정했기 때문이다. 그리고 그 결정이 편리했기 때문이다. 간단하게 우리가 수식을 사용할 때 되도록이면 간단하게 쓰이기를 원했을 것이다. 간단해야 계산도 쉽고, 책에 써 넣거나 읽기도 쉬웠을 것이다. 물론 처음부터 곱셈을 덧셈보다 먼저 계산하자는 시도만 있었던 것은 아닐 것이다. 사용하다보니 그렇게 하는 것이 편리했기 때문에 그렇게 정착된 것이다. 오늘날 살아남은 표기들 중에서도 곱셈보다 덧셈을 먼저 계산하는 방식이나 곱셈과 덧셈 중 우선순위가 존재하지 않는 표기법도 남아있다. 대표적인 예가 컴퓨터 프로그래밍에서의 Scheme에서의 수식 표현이나 알골(ALGOL) 프로그래밍의 표현 방법이다. 이들의 속에서의 수식 표기법에서는 사칙연산의 우선순위를 완전히 대등하게 놓고 표기한다. 관습적인 표기법에 익숙한 사람들에게는 매우 불편하지만, 감정과 관습에 없는 컴퓨터가 읽고 처리하기에는 매우 편한 방법이다. ^^ (* (+ 2 (* 4 6))(+ 3 5 7)) ⇔ (2+4*6)*(3+5+7) 왼쪽 표기법에서 대부분의 괄호는 생략해도 된다.1 반면 오른쪽 표기법에서는 괄호를 생략하면 결과가 달라져 버린다. 우리가 보통 사용하는 수식이기 때문이다. 따라서 왼쪽 표기법에서는 사칙연산의 우선순위가 차이가 없음을 알 수 있다. 단순히 이론적인 논리학에서는 우선순위가 존재하는 표현방법과 존재하지 않는 표현방법 모두 가능하고, 실제로 아직도 많이 사용되고 있다.2 ps. 초등학생을 교육을 하는 교육자들이 학생들에게 사칙연산을 가르칠 때 가장 힘든 부분은 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈보다 먼저 계산하라는 것이다. 학생들의 입장에서는 왜 그렇게 되는 건지 이해가 되지 않는데 그렇게 하라고 하니 답답할 수밖에 없고, 교육자의 입장에서는 당연한 것을 못 알아듣는 초등학생들이 답답할 수밖에 없을 것이다. 하지만 위에서 이야기했듯이 교육자가 "개구리 올챙잇적 생각하지 못한다"는 속담처럼 자신이 교육받던 때의 기억을 잊었던 것이다. 당연하다고 생각한 것이 사실은 그 이외의 가능성을 감춰버리는 지우개로 작용했던 것을 미처 깨닫지 못했기 때문이다. 망각이고 습관이다. ^^;; 학생들의 의문은 4개의 연산자의 우선순위를 결정하는 조합이 꽤 많기 때문에 발생하는 것이다. 이것을 빨리 학습시킬 것이 아니라 속도가 느리더라도 정확하게 이해시켜야 학생의 미래에 더 정확한 수학실력을 갈고 닦을 수 있지 않을까
08/04/02 01:44
곱하기를 먼저 하는 건, 곱하기가 더하기 보다 상대적으로 더 어렵기 때문입니다
더 큰 걱정이 있는데 작은 걱정이 눈에 들어올까요?
08/04/02 01:49
이거이거.. 혹시 저때문에 이렇게 논쟁이 생긴건가요.. 이런 일이 생길거라곤 상상도 못했는데... 다른분들의 생각을 듣고 있으니 깨우쳐지는! 느낌이 듭니다.
일단 제가 처음처럼 생각했던 이유는 다음과 같습니다. 곱셈기호는 그 탄생이 덧셈의 긴 수식을 `줄임`에 있다고 알고있습니다. 저는 연산을 위해선, 식에서 곱셈들을 먼저 원래대로 풀어야 연산이 자연스러울 것이라 생각했습니다. (같은 레벨의 연산자로, 예를들어 덧셈만의) 그래서 곱셈이 원래의 덧셈으로 풀려야 한다는 생각을 가지고 있었기에 덧셈`연산`보다, 곱셈연산자의 `원래모습`으로의 풀이가 먼저 되어야 하므로 곱셈이 먼저라 생각한 것입니다. 사실 지금 보니, 제 생각에 끼워 맞춘듯한 느낌이 드는군요...
08/04/02 02:15
2를 두 개라고 하는 자체도 약속인데 두 개를 "4"라고 안쓰고 "2"라고 쓰는 이유는 뭔가요?
이런 질문이랑 비슷한거아닙니까??
08/04/02 02:23
tsana님// 제 개인적으로 현재의 사칙연산 우선순위가 곱셈 먼저로 정해진 이유는 tsana님의 말씀이 맞다고 생각합니다.
문제는 덧셈과 곱셈 연산을 별개의 연산으로 봤을 때는 이게 문제가 되는데 곱셈이 덧셈과 별개의 연산은 아니잖아요^^?
08/04/02 02:28
C를 오래해서 그런지 몰라도. 제머리속엔 보수와 덧셈만 있네요.
당연히 계산엔 덧셈만 있는 거니 곱셈 이란 기호로 된 약속된 문장을 덧셈으로 치환한 후 차후 덧셈을 진행하는게 맞지않나요 ? 생각해보니 이런 간단 한걸 잘 생각해 보지 않았군요 뉴질랜드 사는 친척동생이 고1 때 분수 개념배운데서 비웃었었는데. 그 떄 배운게 분수 계산법이 라니라 분수가 생긴 원리를 배웠다고 하더군요. 요점은 잘못된 한국의 교육방법 정도 ?
08/04/02 03:16
수학과에선 1-1=0인게 당연한게 아니라, 막 뭘써서 증명하고 그렇지 않나요?
이상 수퍼마켓 계산기를 애용하는 과학자였습니다.
08/04/02 04:45
어.......간단하게 보면..
2+2*2가 2+2+2와 같아야 하는 이유는 2 * 2 = 2 + 2 <= 이 식은 참. 또한 등호 양변에 +2 씩을 해준다고 했을때도 식은 참이어야 함. 2*2+2 = 2 + 2 + 2 가 된다고 봅니다요..;;;;;
08/04/02 07:57
제가 알고 있는 정답은
숫자X숫자가 아니면 곱셈기호 생략하여 3Xn여 3n 으로 쓰고 aXb를 ab로 쓰는등 곱셈을 축약하는게 편하다는걸 사람들이 알았기 때문에입니다. 만약 덧셈을 먼저하게 되면 수학에서 굉장히 유니버설한 다항식 표현만 해도 (2x^2)+(3x)+4 이런식으로 해야되죠.
08/04/02 08:06
루나러브굿//
뭔가 착각하고 계시는군요.. 말씀하신게 컴퓨터에서 사용하는 prefix나 postfix개념같군요.. 예를 드신걸 보니 prefix네요(괄호는 잘안쓰지만) 연산자가 앞에오냐 뒤에 오냐에 따라 달라지는 개념이죠 제 이해가 부족할진 몰라도 이개념이라 생각하고 말씀드릴게요 (컴퓨터공학에서 많이쓰는 개념이니) 제가 수학과는 아니라 확실히 말은 못하겠지만 *연산이 + 연산보다 우선한다는건 일종의 공리같은거 아닌가요?? 사실 루나러브굿님께서 말씀하신 prefix나 postfix같은 컴퓨터에서 연산처리 기법 또한 이러한 원리를 바탕으로 두고 생각되어지는거구요 왜냐면 연산자의 우선순위를 둬야 이러한 개념을 성립시킬수있기때문이죠 당연하게 폰노이만머신에서는 병렬처리가 불가능하고 fetch decode excute의 순환 사이클을 가지고 순차적으로 실행됩니다. 따라서 연산자가 중간에 놓이게 되면 처리하는데 어려움이 따르는거죠 하지만 인간의 뇌구조는 병렬적인 처리가 가능하기때문에 연산자가 어디에 위치하는지를 바로 판단할수있기때문에 2+ 2*2 의 경우 곱셈이 덧셈을 우선한다는 약속과 사람들의 병렬처리에 의해 6이 되는것 이라고 생각되구요.. 설명드리기 뭐하지만.. postfix의 경우 스택을 사용하는게 중요하거든요.. (2+4*6)*(3+5+7)를 스택에 넣고 postfix로 바꿔서 컴퓨터에서 실행시킨다고했을 때 같거나 상위 연산자(*/)가 먼저 들어가있으면 pop되고 같거나 하위연산자(+-)가 먼저들어가있으면 push된다고 보죠. 스택에 (를 넣고 2를 쓰고 +넣고 4를 쓰고 *넣고 6을 쓰고 )를 넣게되면 스택의 last in first out원리에 의해 가장 마지막에 들어간 값이 나오게 되고 ()처리에의해 스택의 값을 비워줘야합니다. 따라서 이런식으로 계산하다보면 346*+35+7* 이 (2+4*6)*(3+5+7) 와 같은 연산이 됩니다. 이것을 풀때는 쭉 스택에 넣고 연산자가 나올때 계산을 해줍니다. 3push 4push 6push *나왔으니 4와 6을 pop해서 *한후 다시 스택에 push +가 나왔으니 아까의계산결과와 3을 pop해서 +하고 push이런식이죠 (pop은 스택에서 빼는거고 push는 스택에 집어넣는것입니다) 예제를 보고 판단해봅시다 그리고 루나러브굿 님께서 말씀하신 예로든 prefix의경우 ( 괄호 연산자의 경우는 잘쓰지 않으므로 패스) 예를 든것처럼 연산자가 맨 앞에 나와있죠? prefix는 연산자가 앞에 나오게됩니다. 따라서 2+2*2는 prefix는 절대 아닙니다. 그렇게 되었으니 postfix로 볼까요?? 루나러브님께서 주장하신 (2+2)*2가 postfix로 표현되었다고 보아도 2 2+2* 라는 식으로 표현됩니다. 2 + 2*2를 (2+2)*2로 만드는 규칙은 전세계 어디에도 없습니다. 수학이란 전세계적으로 공통적인 규칙을 가지고 움직이는 학문입니다. 혼자 규칙을 만든다고 그게 누구누구의 법칙이라고 될수없는것처럼 2 + 2 * 2는 2+(2*2)로 봐야합니다.
08/04/02 08:12
월현님// 서술어와 조사 밖에 이해가....ㅠ.ㅠ
~~~~라서 ~~~~입니다. 그러므로 ~~~~이기 때문에 ~~는 ~~~~로 봐야죠 이렇게 익혀요 흑흑 ㅠ.ㅠ 문과....
08/04/02 08:18
덧붙이자면 표준이란 개념은 참 중요한 것입니다.
실제로 컴퓨터의 네트워크 프로토콜쪽에서 보면 수많은 프로토콜들이 만들어졌지만(그중에 정말 좋은 atm같은 프로토콜도있죠) 결국은 이들 대부분의 프로토콜들이 표준화에 실패하여 사라지게 됩니다. 프로토콜과 수학의 약속은 비슷하다고 생각되는데 수학은 혼자하는 학문이 아닙니다. 크리티컬한 문제로 봤을때 미사일이 날아가는 궤적을 누군가 저런식으로 표현해서 줬다고 가정 합시다. 루나러브굿님 께서 하신 대로 문제를 풀어버리면 전혀 엉뚱한 방향으로 미사일이 날아가게 될것입니다. 매우 크리티컬하죠. 수학은 보다 interactive한 학문이라고 생각되고 그만큼 세계의 약속을 중요시합니다. 공리라는 개념도 그런의미에서 출발한거지요
08/04/02 10:01
작년에 칼큘러스 레포트 중에 "수학은 무엇인가" 라는 주제가 있었는데 거기에 수학은 하나의 language라고 주절주절 썼는데
그렇게 생각하시는 분이 많아서 기쁘네요 크크크크
08/04/02 10:03
-_-;;;;;
본문 보고 왜 이렇게 댓글이 길게 달렸나 했더니만..;;; 쭉 읽다가 아래는 그냥 댓글 분위기에 대한 유머식 댓글일 줄 알았는데 끝까지 토론식이네요. 뭐야 이거 무서워 -_-;;
08/04/02 10:35
더 편하니까 그렇게 약속한것이 아니겠습니까? 단순히 숫자만 있는 사칙연산할때는 별 상관없을 수 있겠지만, 미지수가 들어간 방정식에서 항이라는 개념이 없다면 매우 복잡해 질 겁니다.
08/04/02 10:48
'곱셈을 먼저 계산하자고 약속하는 편이 좀 더 편하다'라는 이유때문입니다. 덧셈을 먼저 계산하자고 약속하고 그렇게 해도 되긴 됩니다.
하지만 그렇게 되면 이기승동생님 말씀대로 다항식을 쓸때 라던가, 다른 수 많은 부분에서 너무나 불편하죠. 게다가 곱셈이 덧셈보다 나중에 만들어진 연산이고 연산기호이기 때문에, 3+3+3+3을 3*4로 줄여쓰기 시작했기 때문이기도 하구요.
08/04/02 11:18
본문 보고 엄청난 댓글수 보고 재미있는 두뇌풀가동형 문제들이 많이 나왔으리라 생각했는데, 수학/논리 토론이 진행되었군요.
개인적으로 수학을 잘 못하지만 관심은 있는 터라 이것도 재미있게 보긴 했지만, 유머란의 취지에 맞게 재미있는 두뇌풀가동 문제 아시는 분 계시면 좀 공개하시면 안될까요! 수학문제는 아니지만 영어문법 두뇌풀가동 문제 하나 꺼내봅니다. 기초중의 기초문법이지만 막상 10초 이내에 답하려면 쉽지 않을 겁니다. 영어 잘하시는 분일수록 오히려 쉽게 안나오고 중학생이라면 무난할 듯... Q> 아래 문제들을 각각 10초 이내에 답하라. 1) be동사의 3인칭 단수 현재형은? 2) she의 소유대명사는? 3) fly의 과거형과 과거분사형은?
08/04/02 12:19
흐음..물리학이나 그런곳 여러군데에서 실제로 수학이 반드시 필요한것으로 알고있습니다
그리고 그럼으로인해서 여러가지 핵이나 실제 '현상' 들이 발견되었고 개발되었고요 수학적 실수하나로 엉뚱한 결과가 나올수있는 현재 이세상의 현상이나 물건들. 사람이 이유없이 '임의적으로'정한 '약속'이 '우연찮게' 거기에 딱맞아떨어져 그런 현상들이 만들어질수 있었을까요? 전 거기에 약간 의문이드네요
08/04/02 12:40
미남자군//유머는 아니고 진짜 궁금해서 입니다.;; 혹 -여러군데에서 문제를 해결해서 '답'을 내기위해서 수학이 실생활에서 사용된다-
-실생활에서 사용되기위해서 일관된 하나의 답이 나오기위해서는 확실히 그럴수밖에 없는 법칙의 과정이 있을수밖에없다- -그 법칙의 과정이 답을내기위한 필연이 아니라 그냥 임의적으로 정한것일수가 있을까?-
08/04/02 13:04
카오루님/ 여러 문학작품을 쓰기 위해서 한국어가 사용된다. 이런 언어가 임의적으로 정한 것일 수 있을까?
물론 있지요. 임의적으로 정해졌더라도 여러 사람이 사용하면서 약속이 확정되면 그 용도가 확장되지요. '돈'은 단순히 물물교환을 보조하는 도구에서 출발해 현재는 신용카드니 주식이나 선물거래니 하는데까지 발전했지요. 수학도 마찬가지입니다. 수학에서도 물론 '발견'된 수나 개념들(파이, 루트, 로그, 복소수 등등...)이 있긴 하지만 이 역시 원래의 '문법'에 벗어나지 않는 확장이었고, 다른 사람들이 이해하고 익힐 수가 있었죠. 그 확장된 문법들에 필연성이 있었는가? 이건 말의 뜻에 따라서 그럴 수도 있고 아닐 수도 있습니다. (우리가 사용하는 자연 언어에서는 Ambiguous성이 제거되지 않았으니까요 ^^;) 공리에 이유가 있는가? 이건 그렇지 않습니다. 하지만 우리가 사용하는 수학이라는 '공리계'는 수학이 발전하면서 어느 정도 고정이 되었고, 중간중간 모순점이 발견되거나 불완전한 부분이 수정되었습니다. 괴델 이전에는 완전하고 무모순인 체계를 만들 수 있을 것이라 전망하는 사람이 많았다고 합니다. 뭐 결국 그것은 좌절되었지만, 그래도 상당히 많은 사람이 이해하고 사용할 수 있는 공리계가 완성되었죠. 수학법칙들은, 그러한 '공리라는 이유'를 가지고 있습니다. 공리, '공통적인 이유'라고 늘려서 쓰더라도 크게 틀린 것은 아닐겁니다. ^^ 그러나. 그 공리에는 이유가 있다고 말하기가 힘들죠. 우리 한국말을 이렇게 사용하는 데는 문법이라는 이유가 있지만, 문법 자체는 세월이 지나면서 변화도 했고, 왜 한국어에는 전치사가 없고 조사만 있냐? 이건 편리성 때문이죠. 그렇게 써왔기 때문도 있고. (다른 방향으로 발전해왔으면 전치사 쪽이 편할 수도 있었겠지만, 그런 경향성이 작용했다는거죠.) 공리도 사실 그런 공리가 생긴 배경적인 이유는 있지만, 수학적인 필연성은 없게 됩니다. 그렇다고 누가 그냥 '아무렇게나 정했다'는 의미에서 '임의적'으로 정했다는 이야기는 아닙니다. 거기에는 문화, 사고, 사회, 언어, 편리성 등 다양한 '이유'가 있지만, 수학적인 '이유'는 아닌거죠. 그래서 '임의적'이라고 말하는 것입니다.
08/04/02 13:07
달리 말하면, 우리가 사용하는 수학의 '내부적 필연성' 때문에 일관된 하나의 답이 나오는 것입니다.
하지만 거기에 '외부적 필연성'은 필요가 없습니다. 우리는 다른 수학을 만들어 사용할 수도 있습니다. C, C++, JAVA, ALGOL, FORTRAN등 많은 프로그래밍 언어가 있는 것과 비슷한 이야기라 할 수 있죠.
08/04/02 13:17
http://pomp.tistory.com/entry/%EC%82%AC%EC%B9%99%EC%97%B0%EC%82%B0%EA%B3%BC-%EA%B4%84%ED%98%B8
권위에 의존한 오류일지는 모르겠지만 -_-;; 저도 이분이랑 같은 생각입니다. 대충 중요한 부분만 발췌하자면 사실 사칙연산에서 덧셈, 뺄셈보다 곱셈, 나눗셈을 먼저 하는 것은 잘 알려진 규칙이지만, 이 규칙이 "그렇게 될 수밖에 없는 것"은 아니다. 곱셈과 나눗셈을 먼저 한다는 것은 사실 곱셈과 나눗셈 연산에 있는 괄호를 생략하는 것이다. 즉, 111+1x2는 사실 111+(1x2)를 줄여쓴 것이다. 어차피 infix 방식은 우선 순위를 나타내는 방법이 필요하므로, 덧셈이든 곱셈이든 어느 한 쪽의 괄호를 생략하는 규칙을 정하는 편이 표기를 간단하게 만든다. 곱셈, 나눗셈이 아니라 덧셈, 뺄셈에 있는 괄호를 생략한다고, 즉 사칙연산에서 덧셈, 뺄셈을 곱셈, 나눗셈보다 먼저 한다고 처음부터 규칙을 정했다고 해도 문제가 생기지는 않는다. 다만 지금과 같은 규칙이 정해진 것은 곱셈, 나눗셈의 괄호를 생략하는 쪽이 조금이라도 편한 점이 있기 때문이다. 여러 가지 이유를 생각할 수 있겠지만, 기본적으로 다음 두 가지 정도를 생각할 수 있을 것 같다. 첫째는 Rudy 님의 설명처럼 분배법칙을 간단히 나타내기 위해서이다. A+BxC를 "곱셈 우선"과 "덧셈 우선"의 두 관점에서 괄호를 써서 나타내어 보면, A+(BxC) = A+(BxC), (A+B)xC = (AxC)+(BxC) 인데, 보다시피 곱셈에 붙어 있는 괄호가 더 많으니 곱셈 쪽의 괄호를 생략하는 편이 낫다. 두번째로는 덧셈은 계산이 간단하지만 곱셈은 상대적으로 어렵다는 점이다. 예를 들어 (123x456)+789와 123x(456+789)를 생각해 보자. 이 경우, 456+789와 같은 덧셈은 간단하게 하나의 수로 고칠 수 있지만 123x456을 하나의 수로 고치는 것은 좀 불편하다. 그렇다면 이 수식은 (123x456)+789와 123x1245로 나타낼 수 있고, 역시 곱셈 쪽의 괄호를 생략하는 편이 조금이나마 효율적이다. 그리고 리플 중에 문자가 들어가는 식까지 고려한다면, 곱셈을 먼저 하기로 약속하고 괄호를 생략하는 것이 백배 천배는 더 보기에 깔끔할 것 같습니다만... ^^
08/04/02 13:55
저도 곱셈을 먼저 하는것이 편의성을 위해,좀 더 식을 간결하게 쓰기 위해 낫다는 건 토론하면서 생각을 했었습니다.
그러나 계속 하고자 했던 이야기는 위에 투명드래곤님이 퍼온 댓글에도 있듯이 "그렇게 될 수밖에 없는 것"은 아니다 라는 것이었죠. 덧셈을 먼저 하면 다소 불편할 수는 있으되 논리적으로 하자가 될 건 없습니다. 실제도 제가 퍼온 댓글에도 있지만 화성이나 다른 행성이 아닌 지구에서도 덧셈을 곱셈에 우선하거나 사칙연산의 우선 순위를 정하지 않는 계산법이 남아있다고 하니까요. (컴퓨터등에서) 편의성을 위해 그렇게 정한걸 '논리,필연'으로 보는건 무리가 있다는 이야기였습니다. (언어든 수학이든 결국 인간은 조금이라도 편리함을 추구하며 이걸 필연이라고 본다면 그것도 맞는 이야기겠지만요)
08/04/02 13:55
그냥 간단하게...
2 + 3 * 2 = 3 * 2 + 2 를 예로 들면 편하셨을것을;; 나눗셈을 제외한 덧셈, 뺄셈, 곱셈은 교환법칙이 성립하게 하려면... 곱셈을 먼저 해야죠. 뭐, "덧셈, 뺄셈, 곱셈은 교환법칙이 성립한다." 라는 전제부터가 약속이긴 하지만요;; 결론은, 루나러브굿님 말씀이 맞습니다. 단지 약속이죠. 하지만, 그렇게 약속한 이유는 '편리성'에 있다는 것도 무시 못합니다.
08/04/02 14:07
루나러브굿님의 말씀처럼 그렇게 단지 "편의"를 위해서 한것은 아닙니다. 특히 이 곱셈과 덧셈의 순서를 이해하는데 숫자 곱하기 숫자를 가지고 생각하면 루나러브굿님의 의견처럼 편의상 했다고 밖에 생각하기 힘듭니다. 하지만 미지수가 들어간 식을 생각하면 그 이유는 명백합니다. 복잡한 수식을 다루기 시작하면서 "필연적으로" 사라지게 된것은 4y같은 항의 4 X y의 곱하기 부호입니다. 저와 같은 곱하기는 조금만 복잡한 식이 되어도 식의 길이를 굉장히 늘리고 보기 힘들게 하기 때문에 사실상 "필연적"으로 사라지게 된것이죠. 이처럼 식을 3x+4y의 형태로 쓰게 되면서 곱셈과 덧셈중, "자연스럽게" 곱셈이 먼저 되게 된것이죠. 3Xx+4Xy로 보면 x+4를 먼저하는 건지 3Xx를 먼저하는 건지 구분해 줘야 하지만, 3x+4y라고 쓰면 아무문제가 안되기 때문이죠. 그 결과 곱셈이 먼저 하게 된 것은 "자연스러운" 일입니다. 단지 그것을 문자가 들어가지 않은 식에서 보면 헷갈리긴 하죠.
08/04/02 14:13
AhnGoon님// AhnGoon님께서 말씀하신 2 + 3 * 2 = 3 * 2 + 2의 예는 저도 생각을 했습니다.
그런데 만약 덧셈을 먼저 하는것이 약속이었다면 3+4*5=5*3+4 라는 다른 예도 생길 수 있지 않았을까요? 어느쪽에 ()를 생략하는것이냐에 따라 달라지는 문제인거 같습니다. 물론 곱셈을 먼저 하는 것이 '편리성'면에 있어서 낫다는 말씀은 백번 옳구요.
08/04/02 14:23
이기승동생님// 그것이 '편의'가 아닐지요.
사람이 언어든 수학이든 반드시 편의를 추구하는것이 필연이라면 필연인게 맞습니다. 오해의 소지를 줄이기 위해 표현을 조금 바꾸자면 덧셈을 먼저 하더라도 '논리'적으로 하자는 없을거 같다는게 제 의견이었구요. 그리고 덧셈을 곱셈에 우선한다 하더라도 3*x+4*y의 식을 3x+4y로 바꾸는데에는 별 무리가 없는거 같은데.. 아닌가요? 그러니까 덧셈을 곱셈에 우선하더라도 숫자와 미지수 사이의 *를 생략하지 못할 이유는 없는 것 같습니다. 곱셈을 반드시 먼저 해야 하는 경우라면 (3*x)+(4*y)라고 쳐줘야하겠지만 이건 현재의 체계에서도 덧셈을 꼭 먼저 해야 할 경우 3*(x+4)*y로 괄호를 쳐줘야 한다는 점에서는 마찬가지니까요.
08/04/02 14:25
AhnGoon님// 뺄셈은 거기서 빼야 할 것 같은데요...
덧셈과 곱셈에서 교환법칙이 성립하는 것이 약속은 아닐 겁니다. 덧셈과 곱셈의 정의가 약속이겠죠. 그리고 *와 +의 우선순위가 바뀌어도 각각의 교환법칙은 변하지 않습니다. (다른 연산과는 무관하니까요.) 어제부터 쭉 읽어왔습니다. 루나러브굿님의 근본적인 의문에 처음에 너무 쉽게 대답하려고 하다가 이렇게 길어지게 된 것 같습니다. (그 와중에 잘못된 설명도 가끔 등장하구요.) 역사적 또는 편의를 위한 이유는 있지만, 연산 체계의 내적 모순에 관련된 '필연적'인 이유는 없다는 정도로 정리되었다고 생각합니다.
08/04/02 14:27
루나러브굿님// 지금 드신 예는, 덧셈이 곱셈보다 연산의 우선순위가 있었을 경우를 말씀하시는거죠?
음.. 저는, 무조건 앞에서부터 계산해야 한다고 약속했을 경우를 가정해서 말씀드렸던건데;; 아뭏든, 함수론이나 대수학의 원칙에 따르면, 곱셈을 먼저 계산하는 쪽이 '자명하다'라는 결론이 나오긴 합니다만, 어쩌면, 그건... 기존의 약속에 따라서 만들어낸 법칙일 수도 있다는 생각도 드네요. 아뭏든, 어떤 학문이건간에 그 학문이 성립하게된 "근원"부터 파고들어가기 시작하면 논란은 끝이 없는게 당연하죠. 루나러브굿님이 어떤 공부를 하신 분인지는 모르겠습니다만, 따지고 보면 제기하신 문제는 상당히 철학적인 논제라는 생각이 듭니다. 원래, 수학의 기반도 철학에서부터니까요. 댓글들이 정신없이 많습니다만, 간만에 뭔가 좀 생각하게 하는 논의였네요. 그런데 이런 건전한 댓글논쟁을 유게에서 보게 되다니;; 역시 PGR입니다. (비꼬는거 아닙니다.. 허허허;;) slowtime님// 아차;; 뺄셈은 빼야하는군요. 저도 컴퓨터쟁이다보니, 음수를 더하는것과 뺄셈과 뭔가 착각했습니다;;
08/04/02 14:35
처음에는 그냥 가볍게 의문을 제기한건데
어쩌다보니 이렇게 되었네요 ㅠ 저 혼자만 이해를 못하는거 같아 정말 알고 싶은 마음도 있었구요. 사실 전~혀 복잡한 문제가 아닌데 제가 지식도 모자라고 제 생각을 전달하는 글솜씨도 모자라서 쓸데없이 토론이 커진거 같기도 합니다. 그래도 토론하면서 새롭게 알게 된점도 많고 해서 의미는 있었네요. 아무튼 혹여라도 유게에서 제 댓글때문에 짜증나거나 하신 분 있다면 다시한번 죄송합니다..
08/04/02 14:45
두가지 옵션이 있는데, 한 가지 옵션이 다른 옵션에 비해 "일장일단"을 가리는 것이 아니라 월등히 우월하다면 그것을 선택하는 것은 "편의" 가 아니라 논리적으로나 학문적으로나 필연적인 것이겠죠 ^^;; 특히 수학의 발전은 "단순화" 와 "추상화" 의 승리입니다. 같은 것이라도 어떻게 표현하느냐에 따라 그 결과가 다르게 나오고, 그 중 가장 우월한 표현방식이 하나의 공통의 표현방식으로 자리잡히면서 수천년간 누적되어온 것이죠. 이 글의 예도 그런 전형적인 예가 아닌가 싶습니다~
08/04/02 14:59
이기승동생님// 제가 말한 필연이나 논리는 그런 의미에서의 필연이 아니라 (slowtime님의 표현을 빌리자면) 연산 체계의 내적 모순에 관련된 '필연적'인 이유는 없다는 의미였습니다.
더불어 저도 몰랐던 사실인데 각종 사칙연산 기호들의 순서가 지금과 같이 널리 쓰이고 확정된것이 1,8세기 말이라고 하네요. 그러니 곱셈을 덧셈에 우선한다라는 법칙도 알고보면 그리 오래된 약속이 아닌것이지요.
08/04/02 15:29
5+2+2+2+2+2+2= 5+2*6 곱셈자체가 이미 덧셈을간단히 나타낸것이므로 당연히 곱셈부터하는걸로 알았습니다.초등학교때
학원에서 갈켜주더군요 그때바로 이해되지는 않았지만 얼마지난후 알앗습니다
08/04/02 15:33
dd11님// 하지만 5+2*6에서 5+2를 먼저 한 후에 (5+2)+(5+2)+.............+(5+2)를 하더라도 곱셈이 덧셈을 간단히 나타낸 것이라는 정의는 훼손되지 않는데요.
5+2*6에서 *을 먼저 덧셈으로 풀어쓴 후에 전체 덧셈을 하는거 자체가 곱셈을 덧셈에 우선하기 떄문에,그리고 곱셈은 괄호가 없을 시 앞뒤의 숫자에 대해서만 계산한다라는 약속이 있기에 가능한 것이죠. 그 두가지 약속이 없다 가정하고 덧셈을 우선시하더라도 논리적인 모순을 발생하지 않습니다. 더불어 제가 쓴 댓글들을 보니 이 부분에 대해 제 생각을 좀 잘못 표현한 것들이 있더라구요. 지금은 수정했습니다만.. 세츠나님은 아마 제가 지겹게도 계속 제기한 물음을 2*6이 왜 2+2+2+2+2+2이냐?라는 물음으로 받아들이신 듯 합니다;
08/04/02 15:38
dd11님// 무슨 말씀인지 잘 이해가 안가는데 .. 혹시 이런 비유가 아니신가요?
500원짜리 물건을 3개 샀는데 2000원을 냈으면 거스름돈은 얼마가 되는가? 이걸 식으로 나타내면 2000-500*3=500. 따라서 곱셈을 먼저하는게 당연하다. 뭐 이런것과 비슷한 말씀을 하시는거죠? 그런데 이건 곱셈을 먼저 해야한다는 약속을 이해하기 쉽도록 설명하기 위해 곱셈을 당연히 먼저 해야 하는 상황에 끼워맞춘것이지. 수학에서 왜 근본적으로 곱셈을 왜 먼저 해야 하는지에 대한 대답은 되지 않습니다.
08/04/02 15:41
전제를 할께요 더하기보다 곱셉을 먼저한다는 정의가아니라 곱셈은 더하기가 모여서 이루어진것이다 그러므로 자체적으로 의미상으로 상식적으로 5+(2*6) 생략되어있습니다 곱하기를 한다는것은 별개가 아니라 하나라는 의미란말이고 더하기라는 것은 별개의 문제입니다
사과1박스에10개인데 5박스있다 배가 5개있다 배5개 + 사과 5박스있는데 그박스안에 10개씩있으므로 5+5x10 (o) 사과1박스에 10개있는데그냥 5+5라고 하진않겟죠 5+5+5x10 (x) 틀림
08/04/02 15:44
5+2*6에서 ()가 생략되었다는걸 상식으로 여기는거 자체가 *이 덧셈에 우선한다는걸 기반으로 하고 있는겁니다.
여러번 말씀드렸지만 덧셈을 먼저 하고 *을 하더라도 곱셈은 더하기가 모여서 이루어진 것이다. 라는 정의는 전혀 훼손되지 않습니다. 다만 순서가 바뀌는거 뿐이죠. 말씀하신 사과와 배의 예도 결국은 곱셈을 덧셈보다 당연히 먼저 해야 하는 상황에 끼워맞춘것일뿐입니다. 반대로 덧셈을 먼저 하는것이 수학에서 원래의 약속이었다면 다른 예를 들 수 있겠죠. 2000원짜리 물건을 500원 할인하는데 그걸 3개 샀다. 그러면 내야 하는 돈은 얼마인가? 2000-500*3=4500 (o) 2000-500*3=500(x) 물론 이것도 dd11님이 드신 예와 마찬가지로 어디까지나 덧셈을 먼저 해야 한다는 약속하에 상황을 맞춘것 뿐입니다. 현재 수학에서는 편의상 정한 약속에 의해 통용되지 않지만 그게 논리적인 하자는 없다는거죠.
08/04/02 15:46
상황에 끼우맞추다뇨 원래는 더하기가 처음있던시절엔 제확신으론 곱하기가 없었습니다 그러나 곱하기라는 대발명이 생겼죠
그래서 이건 약속이라기보다는 사과10박스에 10개있다 10+10+10+10+10+10+10+10+10+10 이게 힘들어서 그냥 10x10이라고하것입니다 더하기는 서로 다른 물체 즉 배와 사과 머이런식으로 통용되고 같은물체 1박스에10개인데 그게 몇박스 있다 이렇게할때 편리적으로 사용하기위해 자연스럽게 곱하기가 생겼습니다
08/04/02 15:48
10*10이 10+10+10+10+10+10+10+10+10+10을 편하게 줄여 쓴것이란 건 알고 있습니다.
그러나 2+10*10에서 2+10을 먼저 한후에 곱하기 10을 하더라도 더하기 여러개를 줄여 쓴것이 곱셈이라라고 정의한것에는 전혀 위배되지 않습니다; 순서의 차이일뿐이죠. 다시 말해 (10+2)+(10+2)+(10+2)+(10+2)......(10+2)를 하더라도 본래 곱셈의 정의에는 위배되지 않는다는 이야기입니다.
08/04/02 15:52
루나러브굿 //아 이제 님말뜻을 알겠군요
수학에서 곱하기가 덧셈에 우선한다는걸 기반으로 하고 있는거죠? 네맞습니다 근데 그 이유는 약속이라기보다는 덧셈을 편리하게 위해서 곱하기가 생겼기때문입니다 곱하기가 필요없는 식은 곱하기를 안씁니다. 더하기가 불편하여서 곱셈이 생겼기때문에 자연스럽게 곱셈이 생겼고 그로인해 우리는 곱하기가 있는식에는 당연히 곱하기를 먼저써야하는것도 알고있죠
08/04/02 15:54
dd11님// 곱셈이 덧셈에서 파생한 연산이라고 해서 곱셈을 덧셈에 우선해야 할 논리적인 이유는 없는듯합니다.
덧셈을 먼저 하더라도 아무런 논리적 모순은 발생하지 않으니까요. 말씀하신건 내적인 이유나 논리적 이유라기보다 어떻게 보면 역사적인 이유가 되겠네요.
08/04/02 15:55
아 그리고 님이 좀이상하게 생각하고 있는것이 굳이 사람이 (10+2)x10이라고 쓰나요 ?
아니면 12x10이라고 쓰나요 ? 10+2를 쓰는이유는 객체가 다르다는것입니다 같은객체라면 그냥12라고 쓰겠죠 1박스에 사과10개 사과2개 라고 하지않고 그냥 1박스에 12개라고 하는것입니다
08/04/02 15:56
논리적으로 발생합니다 같은 객체라면 당연히 (10+2)라고 쓰지말고 12라고 써야되니깐요 10+2라고 쓰는이유는 엄밀히 다른객체 이란말입니다
08/04/02 15:56
dd11님// 그렇게 따지면 10+2*10을 왜 10+20이라고 쓰지 않고 굳이 10+2*10으로 쓰느냐라는 물음도 할 수 있겠죠;
08/04/02 15:59
다른 객체라는 표현이 잘 이해가 안가네요;
10+5+5*3도 애초에는 10+5+(5*3)이던것을 편의상 약속에 의해 괄호를 없앤 것 뿐입니다.
08/04/02 15:59
본문은 유먼데, 댓글은 그야말로 '두외 풀 가동!!' 이네요. 근데 솔직히 조금은 소모성 토론이라는 인상이 듭니다.
제가 전공이 이쪽은 아닌데, 중간중간에 '증명' 과 '약속' 을 혼동하는 듯한 댓글도 좀 보이는 것 같기도 하구요. 수학이라는 것이 '1+1=2' 라는 것도 원칙적으로는 증명해야 할 정도로 증명이 상당히 중요한 학문인 것 같기는 한데, '곱셈과 나눗셈이 덧셈과 뺄셈에 우선하며 우선시되는 정도가 같은 계산은 앞에 있는 것부터 한다' 는 것은 일종의 약속일 뿐이지 (증명할 만한) 합리적인 이유가 있어서 그렇게 정한 것은 아닌 것 같은데요. 증명할 만한 합리적 이유가 있다면 그건 약속이 아니라 증명이겠죠.
08/04/02 16:04
2곱하기10은 20이 곧바로 나오니깐 그렇것이고
그러니깐 복잡한식으로 들어가야하는데요 54박스 1박스당 12개 이러면 54x12가 곧바로 계산되나요??
08/04/02 16:05
;; 그럼 298+20198+9028이 곧바로 계산되지 않는것도 마찬가지인데요..
님 말씀대로 2*10이 원래부터 당연히 같은 객체(이 표현 잘 이해가 안갑니다만;)여야 한다면 같은 객체를 왜 따로 씁니까? 같은 객체니까 그냥 20으로 써야죠.
08/04/02 16:12
덧셈도 식이 길어지고 복잡해지면 바로 못세알리는데요..
298+20198+9028 보자마자 한눈에 계산할 수 있나요? 그리고 dd11님 말씀대로라면 2*10은 암산이 엄청 쉬우니 2*10으로 쓸게 아니라 20이라고 써야죠. 그리고 지금 dd11님과 제가 하고 있는 토론은 전혀 생산적인 것이 아닌거 같습니다;
08/04/02 16:16
어려운식에서만 곱셈을 할거면 2+2*10이라는 예는 왜 드신겁니까.. 곱셉 덧셈의 우선순위와는 아무 상관이 없는 단순 덧셈인 2+20이라고 하셨어야죠.
아니 그러니까 dd11님이 하시는 말씀이 뭡니까? 요지가 전혀 이해가 안가는데요.. 2+3*10에서 2와 3이 다른객체고 만약 같은 객체라면 5*10으로 써야 할거라 하셨죠? 그래서 제가 그럼 3과 10은 같은 객체인데 왜 30으로 안쓰고 3*10으로 쓰냐 했더니 복잡한 계산이 있을 수 있기 때문이라고 하셨구요 -_- 그럼 곱셈뿐 아니라 덧셈도 복잡할 수 있는데 그건 왜 뺴놓고 이야기 하냐고 하시니까 자꾸 다른 소리만 하시네요; 왠지 피차간에 말장난이 되어가는 느낌 ; 제 표현력이 그렇게 부족한가요?
08/04/02 16:19
2+2*6도 원래는 2+(2*6)이던것을 편의상 괄호를 없애고 곱셈을 먼저 하자고 약속했기 떄문에 2+2*6으로 쓴 것 뿐입니다..
08/04/02 16:27
배2개있고 다른객체인 사과2개에 묶음 6개 있으니 14개네 (o)
사과2개 사과2개네 그게 6개 묶음 있다 그러므로 24개있네 (x) 밑에 문장이 틀리다고 보십니까? 저는 확실히 틀렸다고 보는데요 왜냐하면 곱셈이있는데도 불고하고 (더할 필요가 없는 간단한 공식으로 나타낸) 서로같은객체가 있는데도 불구하고 덧셈을 안했기 때문입니다
08/04/02 16:30
수학으로만 자꾸 계산할려고 하지마시고 사과나 배같은 물체들로 생각해보세요 사과4개있는걸 사과2개2개라고 합니까? 곱셈이있는데
왜냐하면 곱셈은 덧셈을 간단히 나타낸것이니깐요 같은객체를 더해야하죠
08/04/02 16:31
밑에 문장이 왜 틀린거죠?
배 2개 있고 다른객체인 사과 2개에 묶음 6개 있으니 14개네. 이것도 원래는 2+(2*6)=14로 써야 하는데 곱셈을 덧셈보다 먼저한다.그리고 곱셈이라는 연산자는 앞뒤의 parameter만을 가지고 계산한다. 라는 사람들의 편의상 '약속' 에 의해 2+2*6으로 간편히 나타낸거 뿐입니다..
08/04/02 16:32
수학이라고 하기도 민망한 산수문제지만.. 왜 자꾸 수식을 미리 만들어 놓고 거기에 끼워맞춰서 상황을 만드십니까 ;
수식자체가 왜 그렇게 되야 하는지 이유를 따지는 토론인데요. 그러니까 덧셈을 곱셈보다 저 하더라도 곱셈이 덧셈에서 파생되었다는 정의는 전혀 달라지지 않습니다..;
08/04/02 16:34
상황이 먼저있어야 수학이있지 수학이있고 상황이있습니까?
사람태어나기전에 수학이 생겼습니까? 아니면 사람들이 셈을 편리하기 위해 수학이 생겼죠~
08/04/02 16:38
제가 처음부터 말했는데요 다시말하게 되나요..-.-;; 또내가 이말하면 님이 그건 또 상황에 끼워맞추지 마세요 라고 할꺼같은데요 ㅠㅠ
08/04/02 16:39
그냥 거두절미하고 덧셈을 곱셈에 우선하더라도 불편함은 생길지언정 아무런 논리적 모순은 발생하지 않습니다.
제가 하고자 하는 말은 이거네요.
08/04/02 16:40
하나는 제가 작은인장님의 블로그에서 퍼온글이고 하나는 투명드래곤님이 퍼오신 글인데
제가 하고자 하는 말은 여기에 다 들어있습니다. dd11님과는 피차 말장난이 되는거 같아 다음에 또 기회가 있으면 토론하는걸로 하죠 ㅠ ------------------------------------------------------------------------------ 그렇다면 왜 덧셈보다 곱셈을 먼저 계산해야 하는가? 그건 우리가 그렇게 결정했기 때문이다. 그리고 그 결정이 편리했기 때문이다. 간단하게 우리가 수식을 사용할 때 되도록이면 간단하게 쓰이기를 원했을 것이다. 간단해야 계산도 쉽고, 책에 써 넣거나 읽기도 쉬웠을 것이다. 물론 처음부터 곱셈을 덧셈보다 먼저 계산하자는 시도만 있었던 것은 아닐 것이다. 사용하다보니 그렇게 하는 것이 편리했기 때문에 그렇게 정착된 것이다. 오늘날 살아남은 표기들 중에서도 곱셈보다 덧셈을 먼저 계산하는 방식이나 곱셈과 덧셈 중 우선순위가 존재하지 않는 표기법도 남아있다. 대표적인 예가 컴퓨터 프로그래밍에서의 Scheme에서의 수식 표현이나 알골(ALGOL) 프로그래밍의 표현 방법이다. 이들의 속에서의 수식 표기법에서는 사칙연산의 우선순위를 완전히 대등하게 놓고 표기한다. 관습적인 표기법에 익숙한 사람들에게는 매우 불편하지만, 감정과 관습에 없는 컴퓨터가 읽고 처리하기에는 매우 편한 방법이다. ^^ ------------------------------------------ 사실 사칙연산에서 덧셈, 뺄셈보다 곱셈, 나눗셈을 먼저 하는 것은 잘 알려진 규칙이지만, 이 규칙이 "그렇게 될 수밖에 없는 것"은 아니다. 곱셈과 나눗셈을 먼저 한다는 것은 사실 곱셈과 나눗셈 연산에 있는 괄호를 생략하는 것이다. 즉, 111+1x2는 사실 111+(1x2)를 줄여쓴 것이다. 어차피 infix 방식은 우선 순위를 나타내는 방법이 필요하므로, 덧셈이든 곱셈이든 어느 한 쪽의 괄호를 생략하는 규칙을 정하는 편이 표기를 간단하게 만든다. 곱셈, 나눗셈이 아니라 덧셈, 뺄셈에 있는 괄호를 생략한다고, 즉 사칙연산에서 덧셈, 뺄셈을 곱셈, 나눗셈보다 먼저 한다고 처음부터 규칙을 정했다고 해도 문제가 생기지는 않는다. 다만 지금과 같은 규칙이 정해진 것은 곱셈, 나눗셈의 괄호를 생략하는 쪽이 조금이라도 편한 점이 있기 때문이다. --------------------------------------------------------
08/04/02 16:42
사과 2개와 사과2개를 합친후에 그런 묶음을 6개 가져오면 당연히 24개죠;; 라고 했습니다 분명히!
2+2x6=24 인가요? 그러면 님의 답변은 (2+2)x6=24 이라고 하겠죠 그러나 그 아라비아 시대엔 12세기전인가 정확힌모르겠지만 괄호가 없었습니다.
08/04/02 16:44
루나러브굿님 제가 하고싶은 말이네요 처음부분요
그건 우리가 그렇게 결정했기 때문이다. 그리고 그 결정이 편리했기 때문이다. 약속이 아니라 편리했기때문에 사용했습니다
08/04/02 16:44
12세기에는 괄호뿐 아니라 사칙연산 기호들의 순서도 확정되기 전이라고 하는데요.
+x-=따위 말이죠. 그리고 2+2x6=24에서 (2+2)x6으로 표시를 해줘야 하는 이유는 곱셈은 괄호가 없을 시 앞뒤의 숫자에 대해서만 계산한다. 곱셈은 덧셈에 우선한다는 약속떄문에 그런것입니다. ;
08/04/02 16:45
편리하다는건 그렇게 쓰는게 말 그대로 편하다는 의미지. 논리적으로 그래야만 하기 떄문이라는 의미는 아닙니다. 그리고 편리하기 떄문에 약속이 된거구요. 논리적으로 그래야 하기 떄문에 약속이 된게 아닙니다.
08/04/02 16:50
거기서 괄호를 사용하는 이유는 현재 수학에서는 곱셈을 먼저 하는것이 편리함에 따라 통용되고 받아들여지기 떄문이죠..;
만약 덧셈을 먼저 하는 방식이었다면 괄호를 치지 않았겠죠.
08/04/02 16:51
네. 약속이어서입니다. *는 원래 그렇게 하기로 약속했기 때문입니다. 그리고 그렇게 하기로 약속한것도 곱셈이 덧셈에 우선한다는 약속과 무관하지 않겠죠.
이 두가지 약속을 지키지 않고 사칙연산을 하더라도 논리적으로,내적으로 모순은 전혀 발생하지 않고 곱셈의 원래 정의를 훼손하지도 않습니다. 다만 좀 불편해질 뿐이죠. 그리고 실제로 그런 사칙연산법도 지금 컴퓨터등에서 쓰이고 있다고 하니 더 이상 설명이 필요없겠죠? 추가하자면 2*3=2+2+2인 이유나 2+2=4인 이유는 머릿속으로 이해할 수도 있고 어떤 방법으로든지 증명이 가능합니다. (곱의 개념을 왜 *으로 표현하느냐, 덧셈을 왜 +로 표현하느냐 등의 문제는 제외) 그러나 곱셈은 덧셈에 우선해서 계산해야 한다. 라는 약속은 논리적으로 증명이 불가능하죠. (곱셈이 덧셈에서 파생되었기 떄문에 자동으로 곱셈을 먼저한다 라는건 논리적인 이유가 아니라 편의상 혹은 역사적인 이유로 봐야합니다. 왜냐면 덧셈을 먼저 하더라도 곱셈이 덧셈에서 파생되었다는 정의는 달라지지 않으니까요)
08/04/02 17:03
사람들은 편리함에따라
(2+2)x6보다는 ex) 사과1박스에 100개있는데 20개있고 80개있네 라고 하진않지않나요? 어차피 1박스 안에 세알리는건데 일단 1박스안에 있는것을 몇개인지 다 세알려보는게 보통아닌가요? (20+80)x6이것보다는 100x6 (여기서 의미만괄호를 친것이지 실제로는 괄호가 없음을 의미합니다) 4x6이라고 통용되기 때문이죠! 박스안에 있는것들을 한꺼번에 다 세알려버리고 계산하지 조금조금 씩 세진않습니다 그래야 편하기 때문이죠
08/04/02 17:07
말씀하신 건 이 부분과 상통하는거 같네요.
두번째로는 덧셈은 계산이 간단하지만 곱셈은 상대적으로 어렵다는 점이다. 예를 들어 (123x456)+789와 123x(456+789)를 생각해 보자. 이 경우, 456+789와 같은 덧셈은 간단하게 하나의 수로 고칠 수 있지만 123x456을 하나의 수로 고치는 것은 좀 불편하다. 그렇다면 이 수식은 (123x456)+789와 123x1245로 나타낼 수 있고, 역시 곱셈 쪽의 괄호를 생략하는 편이 조금이나마 효율적이다. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 그러나 그래봐야 결론은 달라지지 않는거 같은데요. 그러니까 편리하기 떄문에 그렇게 약속한것과 논리적으로 혹은 내적 필연성에 의해 그래야 하기 떄문인것은 다르다는거죠 ; 저 글을 쓴 글쓴분도 마찬가지 결론을 내리고 있구요. 한마디로 곱셈을 덧셈에 우선하여 계산하는 것은 그렇게 하기로 약속했기 떄문이지 반드시 그래야 하는 이유가 있는 건 아니라는 겁니다.
08/04/02 17:19
그러니깐 효율적이기때문에!!
그렇게 전부다 논리적으로 내적필연성으로 편하기때문에 그렇게 사용되었어요 약속을 했는게 아니고 약속을 할 필요가 없었어요!! 왜냐? 다 그렇게 사용하기때문에
08/04/02 17:22
A라는 방식도 논리적인 하자가 없고 B라는 방식도 논리적 하자가 없다.
그런데 편의상 A를 쓰는것이 B를 쓰는것보다 낫다. 그래서 A를 쓰기로 했다. 이게 맞는거죠. 논리적으로는 양쪽다 가능하기 떄문에 '내적으로 반드시 그래야 하기 떄문에' A가 선택된 건 아닙니다.(물론 사람들은 당연히 편의를 추구하기 떄문에 A를 선택한건 편의상 필연이다라고 하면 그건 맞습니다) 그리고 약속을 할 필요가 없었던게 아니라 약속을 한겁니다. 다시 말씀드리지만 예전에는 덧셈을 먼저 하는 연산법도 있었다고 하고 지금도 쓰이고 있으니까요.
08/04/02 17:48
음.. 오늘까지 지속되었군요,
dd11님의 의견과는 조금 다른데요 "편리하고 효율적이기 때문에" 지금까지 사용되었다 라는 관점보다는 전 개인적으로 "지금까지 사용되어 왔기 때문에" 우리가 편리하고 효율적으로 느끼는 것이라고 생각합니다. 우리가 곱셈을 덧셈보다 우선 계산한다는 방식으로 배워왔기 때문에 상황이라던가 모든 세상의 표현을 그러한 방식으로 표현하는 것이 편하기 때문입니다. 아마 덧셈을 곱셈보다 우선하는 수식을 오랫동안 써왔다면 곱셈을 먼저 하는것이 더 어색했을 것 입니다. 지금 많은 현상의 설명이나 여러 법칙들이 곱셈을 우선하는 수식을 씀으로써 새롭게 탄생되고 했지만, 만일 그 반대의 경우라면 현재 우리가 사용하는 법칙들이 없어졌을지라도 새로운 법칙들이 생겨났겠죠.
08/04/02 18:04
곱셈을 먼저한다라는 약속이아니라..
2 * 3은 하나의 연산과정인것이 아니라 2 + 2 + 2 라는 하나의 객체가 아닌가요.. 즉 2 + 2 * 3은 2에 2 *3이라는 객체 즉 2 + 2 + 2 + 2가 되는거죠… <2 * 100은 연산과정이 아니라 더하기의 줄여쓰기>
08/04/02 18:18
jinhosama님// 2*3이 2+2+2인건 맞지만
그렇다고 덧셈을 곱셈보다 먼저 하지 못할 이유는 없습니다. 2+2*3에서 덧셈을 먼저하면 (2+2)+(2+2)+(2+2)가 되는데 이렇게 되어도 전혀 논리적 하자가 없기 떄문이죠. 2*3을 하나의 객체로 보고 2+2를 하나의 객체로 보지 않는건 곱셈을 덧셈에 우선하기 떄문에 그런것이고. 덧셈을 곱셈에 우선하더라도 곱셈의 정의는 훼손되지 않습니다. 쉽게 말해 (2+2)*3에서 괄호를 생략하느냐 2+(2*3)에서 괄호를 생략하느냐를 선택하는 기로에서 사람들은 후자를 선택했고 그것이 하나의 법칙이자 약속이 된겁니다.
08/04/02 18:20
뭔글에 리플이 이리 달렸나 했더니.. 사칙연산의 순서는 당연히 약속일뿐 논리필연이 아니죠.
jinhosama님// 2*3=2+2+2라고 해서 2+2*3=2+2+2+2 라고 보는 것 자체가 현재의 사칙연산순서에 따른거고. 덧셈이 곱셈에 우선한다고 볼 경우에는 2+2*3는 2+2 가 3개 있는 즉 (2+2)+(2+2)+(2+2)가 되는 거죠.
08/04/02 18:32
저 위에 제가 퍼온 글에 있습니다.
그런데 그 사칙연산의 순서가 언제 정해졌는지는 논리 필연성이 있느냐 없느냐를 따지는 문제에 있어서 별로 중요한 사안이 아닌데요.
08/04/02 18:46
http://may.minicactus.com/103511 입니다. 그런데 이런식으로 하나하나 꼬투리 잡아가면서까지 이야기를 이어나갈 이유가 있는건지..
08/04/02 18:54
1은 엄연히 글쓴이의 생각일뿐 정확한 근거도 없네요 2는 제가 하고싶은 말이고요
1아마 정확히 사칙연산의 순서가 결정된 것은 18,세기 후반에 각종 계산기호들이 결정될 때에서야 따라서 결정됐을 것이다 2 그렇다면 왜 덧셈보다 곱셈을 먼저 계산해야 하는가? 그건 우리가 그렇게 결정했기 때문이다. 그리고 그 결정이 편리했기 때문이다. 간단하게 우리가 수식을 사용할 때 되도록이면 간단하게 쓰이기를 원했을 것이다. 간단해야 계산도 쉽고, 책에 써 넣거나 읽기도 쉬웠을 것이다. 물론 처음부터 곱셈을 덧셈보다 먼저 계산하자는 시도만 있었던 것은 아닐 것이다. 사용하다보니 그렇게 하는 것이 편리했기 때문에 그렇게 정착된 것이다.
08/04/02 19:10
그나저나 제가 보기에는 루나러브굿님은 "뭐 꼭 곱셈을 먼저 할 필요야 없지만 그렇게 정하면 괄호도 적게 쓰고 여러모로 편하니까 그냥 그렇게 하는거지" 라고 말씀하시는거 같고 dd11님은 "곱셈을 먼저하는게 간단하고 편하니까 그게 반드시 곱셈을 먼저 해야 되는 이유 아니냐" 라면서 서로 싸우시는것 같은데.. (혹시 제가 잘못 이해하고 있는 부분이 있으면 지적 부탁드립니다) 뭐 엄밀히 말하자면 약간 다르긴 하지만 대충 그게 그거 아닌가요? 뭐 그렇게 열심히 싸울 거리는 안 돼 보이는데요;; 그냥 대충 비슷하니까 넘어가시라능...
08/04/02 19:12
그러니까 말을 다르게 한다는게 루나님 표현을 빌자면 "내재적 필연성"이 있지는 않다는거고, 그럼에도 불구하고 곱셈을 먼저 하는건 "그렇게 하기로 규칙을 정했기 때문" 인걸로 저는 이해했습니다만...?
08/04/02 19:38
루나러브굿님// 루나러브님이 말씀하시는 것은 단지 편하기 위해서 사용하는 것이지 논리적인 이유는 없다고 하셨는데 저는 다르게 생각합니다.
'2 + 2 = 4' 이것은 사람들의 약속이지만, 자연계에서 쉽게 볼 수 있는 현상입니다. 돌 2개와 돌 2개를 모아놓으면 돌 4개가 되죠. 마찬가지로 돌 2개씩 3묶음이면 "2 * 3 = 2 + 2 + = 6"이 됩니다. 이런 자연계에서 쉽게 볼 수 있는 현상을 기반으로 수학은 약속되어 있습니다. 더하기는 옛날 자연계의 현상을 본따 사람들이 정한 약속이죠 이제 루나러브굿님이 정하신 곱하기보다 더하기가 우선되는 것이 논리적인 필연성이 있냐에 대해서 살펴보면 아래 식을 보면 알수 있습니다. '2 + 2 * 2 = 8' 이라고 가정하고 양 변에 2를 더해봅시다. 더하기 연산자가 우선순위가 높기 때문에 "2 + 2 * 2 + 2 = (2 + 2) * (2 + 2) = 16"이지만, 오른쪽에서는 "8 + 2 = 10"으로 왼쪽과 오른쪽이 달라집니다. 루나러브굿님이 말씀하신 더하기를 곱하기보다 우선순위로 두면 그 식 자체로는 문제가 없지만, 각 식에 더하거나 빼거나 곱하거나 나눌때 왼쪽변과 오른쪽변의 답이 달라집니다. 따라서 우리가 사용하는 +라는 약속 위에서 4칙 연산을 할 때에는 +보다 *를 먼저 연산해야합니다. 답이 되셨는지요?
08/04/02 19:42
홍군님// 아아.. 그건 좀 아닌것 같습니다;;
덧셈을 우선적으로 계산하는 체계에서라면 (2+2*2)+2 = 8+2로 표시했겠죠. 이건 2 + 2 * 2 = 6인데 2 + 2 * 2 * 2 != 6 * 2 라는것과 마찬가지 얘기 아닌가요
08/04/02 19:43
Lupus님// 새로운 법칙이 나타났으리라고는 생각되지 않습니다.
'2 + 2 = 4'라는 약속 자체가 무시되지 않는 이상은요. 모든 개념이 +에서부터 출발한 것이기 때문에 위에 리플달은 것처럼 +가 *보다 우선순위가 높으면 양쪽식을 변형했을 때 답이 달라지니까요.
08/04/02 19:51
투명드래곤님// 덧셈을 우선적으로 해야하기 때문에
2 + 2 * 2 + 2 = (2 + 2) * (2 + 2) = 16으로 되어야 합니다. 만약 (2 + 2 * 2) + 2로 표기되려면 () 없이는 수식이 표현될 수 없기 때문에 문제가 발생겠죠. 제가 기억하기로는 선형이 되려면 분배법칙과 교환법칙이 성립해야하는 것으로 알고있는데 덧셈을 먼저하면 분배법칙과 교환법칙이 성립이 안되어 선형이 될 수 없을 것 같습니다.
08/04/02 19:59
덧셈을 먼저 할 때 어째서 분배법칙과 교환법칙이 성립 안된다고 하시는지 모르겠네요. a + b = b + a, a * b = b * a, a * (b + c) = (a * b) + (a * c) 다 성립하지 않나요?
괄호 없이 수식을 표현할 수 없다고 해서 문제가 발생한다는 것과 같은 맥락에서 하신 말씀인 것 같은데.. 이 부분은 이해하기 힘들군요. 좀 더 자세히 설명해 주시길 부탁드리겠습니다.
08/04/02 20:00
dd11님// 결론적으로 dd11님과 생각의 차이가 별로 없는거 같으니 그만했으면 합니다. 솔직히 dd11님과 토론하는 의미를 잘 모르겠습니다.
08/04/02 20:01
루나러브굿님// 우선 덧셈은 인정하는 것인가요?
3 + 5 = 1 + 7 = 7 + 1 = ( 1 + 6) + 1 = 1 + ( 1 + 6) = 8 모두 한가지 답이 됩니다. 교환법칙을 통해서요 마찬가지로 '2 * 2 * 3 = 3 * 2 * 2 = (3 * 2) * 2 = (3 + 3) * 2 = 6 + 6 = 12' 식 역시 교환, 분배법칙이 가능합니다. 만약 위 식을 덧셈 연산을 먼저하여 계산한 값과 곱하기를 더하기로 변경하여 계산한 값을 같도록 일관된 논리로 수식을 만드실 수 있으신가요?
08/04/02 20:04
홍군님의 예는 곱셈을 먼저 하는 체계하에서도 얼마든지 들 수 있습니다.
예를 들어볼까요? 곱셈을 먼저 할 시 2*3+4=10이죠. 그런데 여기서 양변에 5를 곱해주면 곱셈을 먼저 할 시 2*3+4*5이므로 25가 되는데 이는 우변의 10*5와 같지 않으므로 식이 성립하지 않습니다. 따라서 이럴 때는 (2*3+4)*5라고 따로 괄호를 쳐줘야 성립이 되겠죠. 반면 덧셈을 먼저 할 시에는 괄호가 필요하지 않구요. 지금 홍군님이 지적하신 맹점은 곱셈을 우선시하나 덧셈을 우선시하나 상관없이 발생하는 것입니다. 즉 어느쪽을 선택하더라도 괄호는 필수라는거죠.
08/04/02 20:05
혹시 제가 분배법칙에 대해서 뭔가 까먹고 있는 부분이 있나 싶어서 네이버 백과사전을 뒤지다가 적절한 예를 발견했네요. 교집합, 합집합 기호 ∩∪에 대해서는 서로 우선순위를 정해두지 않았기 때문에 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)처럼 항상 괄호를 써줘야 하지만, 아래와 같이 분배법칙은 성립하죠. 덧셈, 곱셈의 경우에는 워낙 많이 사용되는 기호이고 곱셈에 우선순위를 두는 것이 훨씬 간결해 지는 경우가 많기 때문에 곱셈을 먼저 하기로 결정한거구요.
08/04/02 20:09
투명드래곤님// 'a * b + c'를 연산한 값과 'b * a + c' 값이 덧셈을 먼저하면 같게 나오는지요?
값을 같게 하려면 ()라는 기호를 써야합니다. 즉 '(a * b) + c = (b * a) + c'인 경우에만 참이 되기 때문에 문제가 발생하는 것이죠. () 기호 없이는 덧셈 연산자가 우선일 경우 교환법칙이 성립되지 않습니다. 그런데 () 기호라는 것이 ()안에 있는 수식을 먼저 하라는 뜻이기 때문에 결국 곱셈 연산자가 우선순위가 높게 되는것이죠.
08/04/02 20:09
홍군님// 홍군님꼐서 쓰신 식들은 덧셈을 먼저 하더라도 별 하자가 없어보이는데요.
다른 예를 들어볼까요? 곱셈을 우선시 할 경우 2 + 3 * 2 = 3 * 2 + 2가 성립되지만 덧셈을 우선시 할 경우는 성립하지 않습니다. 대신 3+4*5=5*3+4은 덧셈을 우선시 할 경우 성립하지만 곱셈을 우선시 할 경우 성립하지 않죠.
08/04/02 20:11
계속 의미없는 예를 들고 계신것 같습니다. 방금 드신 예는 곱셈을 먼저 계산하는 경우에 'a + b * c' 와 'b + a * c'가 같으려면 덧셈을 먼저 계산해야 하니 문제가 생긴다는 주장이랑 다를게 없는것 같은데요.
08/04/02 20:13
'a * b + c'를 연산한 값과 'b * a + c' 값이 같으려면 곱셈을 먼저 해야하지만
'a+b*c'를 연산한 값과 'c*a+b'에 있어서는 덧셈을 먼저 해야 식이 성립합니다. 즉 (a+b)*c=c*(a+b)일떄만 참이라는거죠. 양쪽 다 가지고 있는 맹점입니다. 따라서 이 부분에 있어서는 편의성이나 논리성 측면에서 누가 낫다 언급할 여지가 없구요
08/04/02 20:16
루나러브굿님// 곱셈의 정의가 같은 수를 여러번 더하는 것입니다. 즉 4 * 5이면 4라는 수를 5번 더하는 것입니다.
그런데 루나러브굿님이 하신 예에서는 곱셈의 기본 원리를 무시한 예로 보입니다. '2 * 3 + 4'에 5를 곱한 것은 '2 * 3 + 4'를 5번 더하는 것이기 때문에 '2 * 3 + 4 * 5'라는 식은 곱셈의 원리에 맞지 않는 것이죠.
08/04/02 20:18
홍군님// 저~~ 위에 crom님의 댓글에도 있지만 곱셈이 바로 앞뒤의 숫자들에 대해서만 계산해야 한다는걸 말씀하시는거 같은데
그것 역시 사람들이 편의를 위해,그리고 곱셈을 우선시 하는 체계하에 정한 약속일뿐입니다. 만약 덧셈을 우선시하는 체계였다면 덧셈에 대해서 마찬가지로 기호 앞뒤로 각각 하나의 숫자에 대해서만 계산하도록 약속이 생겼을 것입니다. 그렇다면 2*3+4*5는 2*(3+4)*5로 계산되었겠지요.그리고 그렇게 한다해도 여러번 더한것이 곱셈이라는 곱셈의 정의에는 전혀 위배되지 않습니다.
08/04/02 20:20
그리고 교환법칙에 대해 헷갈리고 계신것 같은데 제 기억이 맞다면(-_-;;) 교환법칙은 하나의 연산에 대해서 그 연산의 앞, 뒤를 바꾸었을 때 같은 결과가 나오는 것을 의미하는거지, 이렇게 여러가지 연산이 섞여 있을 때 적용되는건 아니었던것 같습니다.
사실 애초에 여러가지 연산이 있을 때 어떤 연산을 다른 연산보다 우선적으로 처리해야 할 필요는 없죠. 원칙적으로는 위에 나왔던 교집합, 합집합처럼 그냥 필요에 따라 항상 괄호를 써주면 되는겁니다만.. (아니면 덧셈이랑 뺄셈이 같이 있을 때처럼 그냥 앞에 있는것부터 순서대로 처리하거나요) 곱셈, 나눗셈이랑 덧셈, 뺄셈이 같이 있고 곱셈, 나눗셈을 먼저 해야 할 때는 그냥 괄호를 생략하기로 하는 것이 더 편하겠다 싶어서 그렇게 정한것 아닐지...
08/04/02 20:21
그리고 교환법칙에 대해서도 엄밀히 말해 투명드래곤님 말씀이 맞습니다. 교환법칙은 다른 연산의 영향을 받는것이 아니므로 사실 곱셈 덧셈의 우선순위와 교환법칙은 상관이 없습니다. 하나의 연산에 대해서만 해당하는 것이죠.
2+3=3+2 이건 교환법칙으로 설명하지만 2+3*4=3*4+2를 교환법칙으로 설명하지는 않습니다. 이건 덧셈을 우선시 할 떄 생기는 경우에도 마찬가지로 적용되겠지요.
08/04/02 20:22
투명드래곤님, 루나러브굿// 맨처음 리플을 달았을 때 '덧셈'이라는 약속은 인정하는지 물어봤습니다.
그건 인정하시지요? 그럼 다시 '곱셈'이라는 것은 'A 수를 B번 반복해서 더한다'라는 것이 'A * B'라는 것은 인정하시는지요? 이걸 인정하지 않는다면 덧셈이 먼저인지 곱셈이 먼저인지 우선순위를 논하는 것은 의미가 없어 보입니다. 만약 인정하신다면 실제 수식를 분해해서 여러번 계산을 해보시면 덧셈과 곱셈의 우선순위가 그렇게 정해졌는지 알 수 있으실 것 같습니다.
08/04/02 20:24
홍군님// 지겹데 달은 댓글인거 같은데 곱셈이 덧셈에서 파생되었다는건 알고 있습니다.
그러나 그것과 사칙연산의 우선순위를 정하는 것과는 필연적,논리적 관계가 없습니다. 왜냐면 덧셈을 먼저 하더라도 곱셈의 정의에 위배되지는 않기 떄문이죠. 그리고 홍군님이 드신 여러가지 예들은 덧셈을 우선시 할 경우에도 충분히 들 수 있는 예들입니다. 'a * b + c'를 연산한 값과 'b * a + c' 값은 곱셈을 먼저 해야 같게 나오지만 'a+b*c'를 연산한 값과 'b+a*c'를 연산한 값이 같게 하려면 덧셈을 먼저 해야 합니다 ; 그리고 전자는 곱셈에 대해서 기호 앞뒤로 각각 하나의 숫자들에 대해서만 계산하도록 약속해야 하고 후자는 덧셈에 대해서 바로 앞뒤의 숫자들에 대해서만 계산하도록 약속해야 하죠.
08/04/02 20:36
루나러브굿님// 'a + b * c = a + b + b ... + b' 이지만 'b + a * c = a + c + c + c....+ c'입니다.
곱셈이 덧셈에서 파생된 것이면 뒤에 두 식이 같아야 하는데 실제로 계산해보면 그렇지가 않죠. 투명드래곤님// 교환법칙은 한 연산자에서 하는 것이 맞습니다. 다만 우선순위가 있는데 이를 지켜가면서 해야하는 것이죠. 즉 곱셈이 우선순위가 높다면 'a * b + c = b * a + c"가 같은 값이 되고 교환법칙이 성립되지만 덧셈이 우선순위가 높다면 'a * b + c = a * c + b"가 성립되어야 하는 것으로 알고 있습니다. 저도 한 6년전에 배운것이라 더 이상 설명은 못 드리겠네요. 하하하.
08/04/02 20:38
홍군님// 덧셈을 우선시 할 경우 'a+b*c=a+b+b+b+b..+b='가 아니라 (a+b)+(a+b)+(a+b)+....(a+b)가 됩니다.
이렇게 하더라도 곱셈이 덧셈에서 파생했다는 정의에는 전혀 위배되지 않죠. 다만 임의로 정한 약속이 달라질 뿐입니다. 다시 말씀드리지만 사칙연산의 우선순위가 없거나 덧셈이 곱셈에 우선하는 연산법이 컴퓨터등에서도 쓰이고 있다하니 여기에 논리적인 오류가 있는건 아닙니다.
08/04/02 20:40
투명드래곤님// ' 2 + 3 = 5'라는 약속을 인정하느냐 입니다.
그리고 곱셈은 '2 * 3 = 2 + 2 + 2"라는 약속 역시 아는지를 물어본 것입니다. 아무튼 나름 재미있었습니다. 그럼 즐거운 저녁 보내세요 ^^
08/04/02 20:47
말씀 듣고 세어보니 저도 현대대수 수업 들은지 어언 4년이군요.. 세월 참 ㅠㅠ
아무튼 우선순위를 지켜가면서 한다는게 (a * b) + c = (b * a) + c, a * (b + c) = a * (c + b) 같은 것 처럼 괄호 안에 있는 식의 앞뒤를 바꾸는 거에서 그냥 괄호를 생략한거죠. 근데 덧셈을 먼저 하는 경우에 교환법칙이 어떻게 깨진다는 건지는 여전히 모르겠네요. 앞에서 예로 드셨던 a * b + c 랑 b * a + c의 경우에도 우선순위에 따라서 생략된 괄호 안에서 앞, 뒤를 바꾸는 거라면 충분히 가능하지 않은가요...
08/04/02 20:49
2 * 3 = 2 + 2 + 2에서 양변에 2를 더하면 2*3+2=2+2+2+2, 따라서 곱셈을 먼저 하는것이 맞다. 라고 하는건 곱셈을 먼저 하는게 맞다라는 사실을 전제에 미리 깔아두고 괄호를 생략한 채 계산한 것이므로 당연히 맞을 수 밖에 없습니다 . =_=
원래는 (2*3)+2=2+2+2+2가 맞는건데 사람들의 약속에 의해 곱셈은 괄호를 생략하기로 했다 라는 사실을 간과하고 설명한 것이지요. 덧셈을 우선시 한다는 전제하에서도 유사한 예를 충분히 만들 수 있습니다. (ex. 3+4=7 에서 3+4*5=7*5 )
08/04/02 21:04
다시 댓글들 처음부터 찬찬히 읽어봤는데 저와 세츠나님은 서로 전~~혀 다른 곳을 바라보면 토론했군요..
저는 a에 대해 이야기하셨는데 세츠나님은 b에 대해 이야기를 하였으니. 결론이 날리가 없었네요 -_-; 쉽게 말해 저는 덧셈을 먼저 하더라도 논리적 하자가 없으며 그런 연산법도 가능하다가는 이야기였고 세츠나님은 현재의 수학체제,즉 곱셈을 먼저 하는 체제하에서 2+2*2와 2+2+2가 같다는걸 계속 설명하고 계셨으니.. 300개에 가까운 댓글들이 여기서 출발한거라고 보면 결국 서로의 의도를 잘못 파악한 오해에서 시작한거네요.
08/04/02 21:08
루나러브굿님// 제가 잘 못 생각했네요. 전공이 전자공학이다 보니 수학이 많이 약해 잘 못 설명드린 것 같습니다.
죄송합니다. ^^; 마지막으로 질문 하나 더 드리고 전 퇴근해야겠습니다. 덧셈이 우선순위가 높으면 '2 * 4 + 3 = 4 + 3 + 4 +3' 이 되겠죠? 그런데 양변에 똑 같이 - 3을 하면 어떻게 처리할 수 있는지 궁금합니다. '(2 * 4 + 3) - 3 = (4 + 3 + 4 + 3) -3' 말고, 즉 ()를 제외하고 다른 방식으로 식을 풀어 쓸 수 있는지요? 그리고 직업이 프로그래머이다 보니 사칙연산의 우선순위가 없거나 덧셈이 곱셈에 우선하는 연산법이 쓰이고 있는 컴퓨터가 어떤 종류인지 알 수 있을까요? 제가 알고 있는 언어로는(C, java, arm asembler 등) 다 일반적으로 사용하는 사칙연산을 하고 있어서 어떻게 처리하는 컴퓨터인지 무지 궁금하네요. 그럼 전 이만 퇴근합니다... 꾸벅~~
08/04/02 21:18
홍군님//
아닙니다. 저도 많이 착각하고 표현을 잘못하고 해서 토론을 길게 늘인것 같아 죄송한 심정뿐입니다 ^^;(사실 이 토론이 수학이라고 하기도 민망하죠..어찌보면 말장난일 수도 있고) 질문에 답변드리자면 홍군님이 드신 그런 경우에는 -든 +든 물론 ()가 필요하다고 생각합니다. 괄호가 없이는 성립이 되지 않지요. 그러나 이건 곱셈을 우선시하는 현재의 체제에서도 발생하는 맹점이기도 하구요. 그러니까 예를 들자면.. 곱셈의 우선순위가 높은 현재의 체제하에서 2*3+4=10의 양쪽에 5를 곱해준다고 할 시 (2*3+4)*5=10*5로 반드시 괄호를 쳐야만 식이 성립하는 것과 같은 이치입니다. 여기서 괄호를 치지 않는다면 양쪽의 값이 달라지겠지요. (덧셈을 우선시 할 경우는 괄호 필요없음) 결국 왼쪽에서 오른쪽으로 계산을 한다는 상식과 약속이 존재하는 한 괄호는 사칙연산에 있어서 반드시 있어야 하는 존재인 거겠네요. 흠 그리고 컴퓨터에 관한 부분은 제가 알고 있는 지식이 아니라 단순히 퍼온글에 있던 부분이라 사실여부는 잘 모르겠습니다. 단순히 그 부분에 관해 적어놓은 설명과 수식을 이해하는 정도로 그쳤는데 그런 프로그램이 실제로 있는지 그 분의 말이 맞는지는 잘 모르겠네요. 저~위에 월현님께서 이에 관해 길게 반박을 해주셨는데. 컴퓨터에 관한 거라 뭐가 뭔지 못알아 들어 그냥 패스하고 말았습니다. 관심이 있으시다면 가서 한번 확인해보시는것도 좋을 듯 합니다 ^^ <a href=http://may.minicactus.com/103511 target=_blank>http://may.minicactus.com/103511</a> 그럼 퇴근 잘 하시고 다음에 또 좋은 이야기 나눌 수 있기를..
08/04/02 21:28
이 글의 리플들과 논쟁과는 전혀 상관없는 얘기지만-_-자연수와 정수, 유리수, 실수. 또 사칙연산이 어떻게 정의되는지는 이 곳에 나와있습니다.
http://www.math.snu.ac.kr/~kye/lecture/07_1_set/set_2_0530.pdf 집합과 함수에 관한 지식이 아마도 조금 필요하실듯. 소위 얘기들하는 "1+1=2"의 증명을 알려면 이것을 이해하시면 됩니다-_-
08/04/02 22:21
홍군님// 정확히 기억은 안나지만.. 예전에 아키 수업 들을 때 비슷한 구조의 머신을 배운적이 있는것 같습니다. 스택을 하나 던져준 다음에 각 instruction에 operand를 표시하지 않고 그냥 스택에서 숫자 두 개 뽑아내서 계산을 시키는... 그러니까 (1 + 2) * 3 이면 push 1, push 2, add, push 3, mult 이렇게 하고 1 + 2 * 3 이면 push 1, push 2, push 3, mult, add 이렇게 하는 식으로요. 이런 식이라면 우선순위도 필요없고 괄호도 필요없을거 같은데.. 이런 프로세서의 어셈블리어가 위에 나오던 postfix 방식으로 표시하는 것의 예가 되지 않을까 싶네요.
(홍군님 전공이 이쪽이라고 하시길래 그냥 편하게 썼습니다. 혹시 이 글을 보고 난감해하시는 비전공자 분이 계시다면 죄송;;)
08/04/03 00:12
댓글을 두번 읽으니까 무슨 말인지 알것 같네요.
그러나, 알것 같은 그 내용을 설명할 길 없으니 마음속에만 소중히 담아두겠습니다. 좋은 정보 알려주신, 댓글 단 모든분들과, 간간히 유머의 댓글을 날려주신 모든 분들께 감사드립니다. 외계어를 사용하신 몇몇 분들에게도,, 문과학생으로서 존경을 드립니다.
08/04/03 00:52
와 너무 기네요;;
좀 기분 나쁘실 수 있겠지만 한마디 하자면 그걸 왜 햇갈리는지 전혀 이해가 안갑니다;; 그럼 2x + 3y는 2*x + 3*y 이고 덧셈 먼저 할수도 있으니까 (2x+6)*y = 2xy + 6y 뭐 이런식으로 풀어도 된다는 얘기신지;;;
08/11/28 00:27
-_-;
이게 아직 댓글이 달리네요... 유게에 링크되어 있어서 다시 보는데, 역시 답답함만... 왜 "객체가 다르다"는 말을 이해 못하는지... 왼손에 사과 2개와 오른손에 사과 2개를 갖고 있으면, 사과 4개를 갖고 있다고 말하지 사과 2개 사과 2개를 갖고 있다고 말하지 않습니다. 하지만 왼손에 배 2개 오른손에 사과 2개를 갖고 있으면 배 2개 사과 2개를 갖고 있다고 말하죠. 내가 가진 과일의 숫자는 4개고요. 수학.... 이 아니고 산수에서는 앞에 사과와 배가 빠지고 뒤의 숫자만 갖고 논다고 dd11 님이 키보드가 부숴져라 쳤는데, 이해를 못했군요. 상차려 주고 입에 떠넣어줘야 하면 욕나올 만도 한데 욕한 분이 없는게 신기하고, 탈퇴한 건 더 신기하네요. 이건 뭐...
08/12/23 00:16
곱셈을 먼저하는게 그냥 단순한 약속이라뇨 -_-;;
a와 b란 값이 있는데 서로 같은 값을 가지고 있다고 가정합시다. 즉 a=b입니다. 이때, 양쪽에 임의의 수 c를 더할경우에도 c + a = c + b 는 '참' 입니다. 여기서 a = 4 + 4 + 4 이고 b = 4 * 3이고 c = 2라고 가정한다면 위의 식은 다시 2 + 4 + 4 + 4 = 2 + 4 * 3이 됩니다. 이제 뒤의 식을 곱셈이 아닌 덧셈부터 하게 되면 위의 식은 성립이 되지 않습니다. 수학에서 곱셈부터 해야하는 이유입니다. 곱셈은 같은 숫자를 반복해서 여러번 더한 것, 즉 덧셈의 연장이기 때문에 당연히 곱셈부터 해야합니다. 그저 약속이 아닌겁니다.
09/03/27 17:52
상큼비타C님// 두풀가 성지순례 온 김에 한줄 남겨 봅니다.
그렇다면 c*a=c*b로 식을 바꾸면? 2*4+4+4=2*4*3 16=24 ?? 대입을 할 때는 괄호를 씌운다고 생각하는 게 맞지요~ 위에서 홍군님이 범한 실수인듯 하네요
09/03/27 19:02
맥핑키님//의 말씀은 dd11님의 의견과 정반대인듯 싶습니다..
맥핑키님의 말씀에 의하면.. 왼손에 사과 2개와 오른손에 사과 2개를 갖고 있으면, 사과 4개를 갖고 있다고 말하지 사과 2개 사과 2개를 갖고 있다고 말하지 않습니다. 하지만 왼손에 배 2개 오른손에 사과 2개를 갖고 있으면 배 2개 사과 2개를 갖고 있다고 말하죠. 내가 가진 과일의 숫자는 4개고요. 수학.... 이 아니고 산수에서는 앞에 사과와 배가 빠지고 뒤의 숫자만 갖고 논다고 dd11 님이 키보드가 부숴져라 쳤는데, 이해를 못했군요. 라고 하셨는데요.. 이중에서 객체가 추상화 되어 숫자로만 갖고 논다는 것은 dd11님의 의견과 정반대아닐까요. dd11님의 예를 고려해봅시다. ① 배2개있고 다른객체인 사과2개에 묶음 6개 있으니 14개네 (o) ② 사과2개 같은객체인 사과2개네 그게 6개 묶음 있다 그러므로 24개있네 (x) 라고 하셨는데요.. 우선 문제상황 자체가 약간 문제가 있습니다만.. 저 문장 자체를 본다면 ①,② 둘다 수학적 표현을 하고자 할 때 조건이 부족합니다. ①의 경우 배랑 사과 둘다 6묶음인지 아니면 사과만 6묶음인지를 명확하게 밝히셨어야 하고.. (왼손, 오른손도좋죠..) 또는!!! 사과2개에 묶음이 6개라고했으니.. 배, 사과, 여기에 어떤 다른 묶음이 또 있다고도 볼 수 있습니다. ②의 경우 '그게' 라는것이 사과 2개, 사과2개 모두 6묶음인지 아니면 후자 사과 2개가 6묶음인지를 명확하게 밝히셨어야 합니다.. (모호한 문장으로 수식을 만드려하면 의견이 당연히 나뉘고 당연함과 그렇지 않음이 공존할 수밖에요) 여기서 dd11님은 '①, ②둘다 두번째로 언급한 사과2개가 6묶음 존재한다..' 상황을 의도적으로 만들어서.. 곱셈이 우선한다는 결과를 도출하려 하신것 같네요.. 그런데 상황자체의 조건이 부족하여 루나러브굿님이 곱셈이 먼저 된(우선했다는게 아니고..먼저 계산 되었다는 상황을 말합니다..) 특정 수식에 끼워 넣는다고 말씀 하신 듯 합니다.. 여하튼 맥핑키님의 말씀대로 보면 ① a + b x 6 = 14 (a=2, b=2, 여기서 a는 배를 b는 사과를 추상화함) ② a + b x 6 = 24 (a=2, b=2, 여기서 a는 사과를 b는 사과를 추상화함) ③ a + a x 6 = 24 (a=2, a=2, 여기서 a는 사과를 추상화함) (③은 객체는 같은 문자로 추상화해야 한다고 생각하시는 분이 있으실듯 해서 이렇게 써봤습니다. 수학의 특성이 일반성을 살리기 위해서는 대수식 만들때 ②처럼 하는게 더 의미 있겠지만요.. ) 여기서 ①이 맞다는 것을 설명할 때 dd11님의 의견대로는 객체를 고려했을 때 객체끼리 더하는 것은 자연스러운 일이므로.. a와 b가 다른 객체이고 이때 b가 6묶음있다는 것을 의미하여 정답으로 생각하셨겠지요.. 그러나 맥핑키님의 의견대로는 뒤의 숫자만 갖고 논다고 하셨으므로.. 숫자만으로, 2 + 2 x 6 = 14 이것은 곱셈을 우선한다는 약속하에서는 정답이 되겠습니다. 덧셈을 우선한다는 약속에서는 오답이 되겠지요.. 다음으로 ②가 틀리다는 것을 설명할 때 dd11님의 의견대로는 객체를 고려했을 때 배는 다른 객체이고 사과라는 객체가 6묶음 있는 것이므로.. ①과 같은 결과가 나와 오답.. 이 되어 자연스레 오답이라고 생각하신 듯 하고요.. 그러나 맥핑키님의 의견대로는 뒤의 숫자만 갖고 논다고 하셨으므로.. 숫자만으로, 2 + 2 x 6 = 24 이것은 곱셉을 우선한다는 약속하에서는 오답이 되겠습니다. 덧셈을 우선한다는 약속에서는 정답이 되겠지요.. 상큼비타C님// 잘못생각하신듯 합니다..^^;; 어찌보면 dd11님과 유사한 상황 (이미 곱셈을 먼저 해놓은) 을 전제하고 계신듯 보이기도 하구요.. 상큼비타C님의 의견을 요약해보면.. a = b라 가정 => c + a = c + b (c: 임의의 수) => a = 4 + 4 + 4, b = 4 x 3, c = 2 를 대입, …………………… ⓐ => 2 + 4 + 4 + 4 = 2 + 4 x 3 …………………… ⓑ 이제 뒤의 식을 곱셈이 아닌 덧셈부터 하게 되면 위의 식은 성립이 되지 않습니다. 수학에서 곱셈부터 해야하는 이유입니다. 여기서.. 정확하게 말하자면 ⓐ를 거쳐 ⓑ로 넘어갈 때 a = 4 + 4 + 4, b = 4 x 3, c = 2 이므로 2 + (4 + 4 + 4) = 2 + (4 x 3) 이렇게 해놓고 괄호를 풀어 계산 하는 것이지요.. 이것은 상황 자체를 b라는 기호 안에 덧셈보다 곱셈을 우선한 상황을 먼저 만들어 놓으셨습니다.. dd11님처럼 두번째의 사과2개가 6묶음이 있다는 것과 비슷하다고 '생각'됩니다. 이렇게 해놓고 덧셈으로 과정을 거슬러 올라가면 모순이 되니 곱셈 먼저다.. 라고 하는 것은 말이 안됩니다.. 그대로 한번 볼께요.. a = b라 가정 => c x a = c x b (c: 임의의 수) => a = 4 + 4 + 4, b = 4 x 3, c = 2 를 대입, …………………… ⓐ => 2 x 4 + 4 + 4 = 2 x 4 x 3 …………………… ⓑ 이제 뒤의 식을 덧셈이 아닌 곱셈부터 하게 되면 위의 식은 성립이 되지 않습니다. 수학에서 덧셈부터 해야하는 이유입니다.. 이것 역시 괄호를 무시한 계산의 형태이자 우선시 하고 싶은 연산의 상황을 만든 것이지요. 덧셈과 곱셈중 무엇이 우선이냐는 .. 둘중의 한 연산을 먼저한다는 전제를 두고 그 전제하에 계산을 진행했을 때 오류가 생긴다면 정하기 쉬울텐데.. 둘다 각각의 전제하에서는 오류가 없으므로.. 상황상 편리한 곱셈을 먼저하기로 약속한 것이지.. 저렇기 때문에 곱셈을 먼저해야 한다고 단정짓는 것은 잘못된것 같습니다.
09/03/28 02:09
성지순례로 왔습니다만
곱하기 나누기가 덧셈 뺄셈보다 먼저 계산해준다는것은 약속입니다. 1+1을 2라고 한다는것과 같은 약속입니다. 약속을 왜냐 물으시면 곤란한 질문이죠
09/03/28 11:28
상황을 수학으로 표현해 왔기 때문에 곱셉을 우선하는것이 편리한 것이다라는 dd11님의 말에 제일 공감이 되네요.
다만 수식에서 곱셉을 왜 우선해야 하는가 라는 질문엔 그렇게 약속했기 때문이다라는 말이 제일 맞는것 같구요.... 서로 각자 관점에서 맞는 말을 하기 때문에 토론이 끝이 없었던 것 같네요....
09/03/28 13:11
성지순례 왔습니다. 리플 하나도 안빼놓고 꼼꼼히 다 읽는데 30분정도 걸렸습니다.
역시 가장 깔끔한 답은 by definition인것 같습니다.
09/03/29 23:31
이곳 성지는 안드로메다인가요....
왠 외계어들이 남발하는 말그대로 'Brood War'이군요.;; 온갖 종족의 언어들이 오고가는 무시무시한 곳이었군요......... 문과생 글쟁이는 이만 지구로 귀환. 샤샥.
09/08/25 20:50
어라.. 제가 저 리플 단 기억이 있는데...
그냥 묻혀가는 게시글이라고 생각했던 글이 후에 이런 무시무시한 수학토론이 벌어졌을 줄은 꿈도 못 꿨네요 -_-;
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